摘要：我们来读一读牛津大学数学教授讲述的微积分的故事，再用高中数学知识解答一个无穷级数求和的问题。

我们来读一读牛津大学数学教授讲述的微积分的故事，再用高中数学知识解答一个无穷级数求和的问题。

开卷有益：牛津教授谈一个无穷级数求和

一个无穷级数

在我们的探索旅程中，无穷通过无穷级数的形式再次出现，例如

乍一看，这个式子很神奇，因为上式中的省略号表示式子左边一系列的正数项以某种规律无限地继续下去，然而它们的和是一个有限值——⅓。

我暂时先用作图的方式来简要地证明这个结果。我们取一个边长为1的正方形，并把它分成一系列越来越小的正方形，如下图所示。

一种“作图证明法”

阴影部分的总面积就表示我们关注的无穷级数之和，而且这个面积显然就是总面积的⅓，因为整个面积被等分成了3份。

但是，这里必须再次说明，上面的理解过于取巧，而且上图给出的证明有点随意，不够严谨。

该式子表示的真正含义可以这样理解：只要式子左边的项数取得足够多，我们就可以让这些项的总和按照我们的要求尽可能地接近⅓。

通往微积分之路

现在我们已经有了一些基础，尤其是了解了与极限相关的一些概念。我们可以正式开始启微积分之路的探索旅程了。

通往微积分之路主要包括4个主题：

①曲线的陡度；

②曲线所包围的面积；

③无穷级数；

④运动问题。

下面将依次介绍这些主题。当然，我希望尽可能简洁明了地解释清楚其中的关键思想。

但是我并不是在说微积分简单。它并不简单！

我之所以这么说，其中一个原因得从几年前我去探望我的父亲说起，那是他去世前几周。

他不是一位数学家，但是他很乐意对我当时正在写的东西发表评论。

我们舒舒服服地坐在他的后花园里，望着夕阳。他突然说：“恐怕我并不认同¼加16分之一加64分之一加...会刚好等于⅓，我觉得这个和会比⅓小一个无穷小的量。”

我是这么回答的：“假如我知道这个无穷小的数具体是什么，我可能会认同你的观点，但是我并不知道。”

“啊！”他若有所思地说。我以为他要说些什么，所以脑子已经高速运转，整理自己的想法，为反击做准备。

结果这个讨论没有继续下去。他最后只是说了一句：“我们再喝一杯威士忌吧！”

以上内容引自《微积分的故事》(the calculus story：a mathematical adventure)，作者［英国］大卫·艾奇逊是著名科普作家，退休前是牛津大学数学教授。

读后感

用高中数学知识享受征服无穷的乐趣

本书的写作风格追求简明流畅，引人入胜，故意忽略了一些推理细节。

现在我们用高中数学知识来解决上一个单元提出的问题，题目呈现如下：

求无穷递缩等比数列

各项的和。

无穷是什么？牛津教授在本书中写道：

无穷这个概念出现得很早，大约在公元前220年的“阿基米德(Archimedes，约前287～前212)时代”。

确切地说，逐渐逼近无穷这一思想才是关键。

接下来，作者介绍了两个公式：圆周长公式和圆面积公式。

数学史上，阿基米德不但用双重归谬法(反证法)证明了圆面积公式，还用类似方法证明了球体的表面积公式和体积公式。从阿基米德发表的论文可以看出，他像躲避瘟疫一样避免无穷的出现。

不管是对古人还是今天的初学者来说，无穷就像是一头在地平线迷雾中出没的怪兽，看不清楚又难以捉摸。

和阿基米德相比，我们有两千多年的后见之明。得益于柯西，魏尔斯特拉斯等人建立了极限理论，以及戴德金，康托尔等数学家建立了实数理论，我们可以用高中数学知识来打败无穷这头怪兽，享受征服无穷的乐趣。

解题之前，我们先进行简明扼要的知识概括。高中阶段，我们学习了等差数列和等比数列，掌握了等比数列通项公式

和求和公式。

学习了数列的极限，掌握了无穷递缩等比数列各项和的公式。

如果无穷等比数列的公比q满足-1

当n无穷增大时，它的前n项的和

的极限

就叫做这个无穷递缩等比数列各项的和，记作

因为当|q|

所以，首项是a₁，公比是q(|q|

这个公式叫做无穷递缩等比数列各项的和的公式。

有了这个公式，解题就易如反掌。

题目呈现：求无穷递缩等比数列

各项的和。

不用怀疑，答案就是⅓。

再看一道经典例题。题目呈现：

求无穷递缩等比数列0.9，0.09，0.009，...

各项的和，并且求这个和与这个等比数列前5项的和的差。

又，s₅=0.9+0.09+0.009+0.0009+0.00009=0.99999.

∴ s-s₅=1-0.99999=0.00001.

说明：求s₅当然也可以用公式，但直接算反而简单。

对不熟悉极限理论的普通人来说，他们始终对答案存在一丝疑虑。德国数学家克莱因是哥廷根学派的创始人，著有《高观点下的初等数学》。书中介绍了魏尔斯特拉斯关于两个实数相等的定义。

魏尔斯特拉斯关于实数相等的定义是分析学严格化过程中的重要贡献之一，其核心思想基于极限理论和无穷小量的精确刻画。这一定义可以概括如下：

若两个实数a和b的差（即|a−b|）可以小于任何预先给定的正数ϵ（无论ϵ 多么小），则称a和b相等。

我们再来看下面的等式：把等式左边看作实数a，等式右边看作实数b，那么这两个实数相等吗？

对学过数列的极限的高中同学而言，因为无穷小是一个变量，而正数ε是一个常量，根据魏尔斯特拉斯(Karl Weierstrass)的相等的定义，显然等式成立。

科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。

来源：茉茉课堂