摘要：市中心的音乐广场矗立着一尊高度为4米的雕像，底座高度为12.6米。设观察者的水平视线高度为1.6米，在距离雕像多远的地方观看视觉效果最好呢？

市中心的音乐广场矗立着一尊高度为4米的雕像，底座高度为12.6米。设观察者的水平视线高度为1.6米，在距离雕像多远的地方观看视觉效果最好呢？

这是一个历史悠久的最值问题，我们可以用与圆有关的几何知识来解题。

所谓视觉效果最好，其实就是指视角最大。题目要求我们找到一个最佳观测点，在这个点看雕像有最大的视角。

我们设这个视角为θ，可以考虑这样定义它。雕像的顶部用点A表示，雕像的底部用点B表示，观察者的眼睛用点P表示。设AP与水平视线PC形成的夹角为α，BP与水平视线PC形成的夹角为β，则有视角θ=α-β.

请看下图：AB是雕像，BD是雕像的底座，DE是地面，P是观察者眼睛的位置，观察者站在地面的E处，∠APB就是视角θ。

解答图

根据解答图，可以证明：当圆ABP与水平视线CH相切时，视角θ取得最大值，这时观察者的视角效果最好。

事实上，在CH上除P外任意取一点P'，则P'在圆PAB外。连接P'A和P'B交圆于S、T两点，因为∠AP'B

以上用到了一个结论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等。

为确定P的位置，我们求P到雕像含底座AD的距离。设圆ABP的圆心为O，作弦AB的垂线OF，垂足F也是弦AB的中点。根据圆的对称性可以得到垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

请看解答图：

∵OB=OP=FC=FB+BC=½AB+(BD-CD)

=½×4+(12.6-1.6)=13

∴ OF²=OB²-BF²=13²-2²=165

即

答：观察者应当站在离雕像12.85米处观看，效果最好。

经典电影《大决战》第二部《淮海战役》中，刘伯承有一段精彩台词：你们注意到那匾上的字没有？(镜头对准匾额“退思堂”)过去县太爷退了堂，不回家去，到这退思堂来歇息一下。回想当天处理的事情有没有不当之处。

现在我们也要复盘一下，回顾刚才的解题过程。

观看雕像有三种姿态：平视，仰视和俯视。本题的隐含条件是仰视，即雕像高度大于水平视线。这种情形下存在最佳观测点，再远一点或再近一点都不能获得最佳视觉效果。

做完本题后，能否总结出一个公式，收到做出一道题，解决一类题的效果？答案是肯定的。

我们把题目一般化，不要具体的数据，设弦心距OF为x，分析以上解题过程，发现答案x与两个参数有关。设雕像高度AB=b，雕像底座BD位于水平视线之上部分BC=a，我们可以写出关于x的公式，即用参数a和b表示x的公式：

上图所求示为确定最佳观测点的公式，是本题的一般化结论。以上的几何解法是用勾股定理求出弦心距，那么还有没有其它解法呢？当然有。

注意到弦AB和半径R都是已知条件，解题目标是求弦心距OF，容易想到可以用相交弦定理解题。

弦AB把圆分为两个弓形，设面积较小的弓形的高为h，则有h+x+R=d，其中d是直径是已知条件，故求出h就能得到x，因为x=R-h.

由相交弦定理可列方程：

h(26-h)=2²，这是一个二次方程，解得

h₁是面积较大的弓形的高，舍弃，x₂不合题意舍去

故x=R-h=12.85(米)

方程一般而言取正根，舍弃负根。方程告诉我们，负根的意义是在雕像AD的另外一侧存在点P''，坐标为负的根号165，在此观看视角最大。(点P的坐标是正的根号165，点C的坐标是0)但是，在P''处观看，只能看到雕像的背面，没有观赏价值，所以我们把这个负根舍弃。

科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。

来源：唐畅古琴