摘要：这幅插图展示了正几何领域中图多项式的实零点集（前景），背景中则为一组费曼图。虽然这两幅插图看似毫无关联，但散射振幅与复杂几何代数中可执行的计算类型之间存在着重要的数学联系，其中一个特定的联系——振幅多面体——为通向万物理论提供了一条充满希望的途径。
这幅插图展示了正几何领域中图多项式的实零点集（前景），背景中则为一组费曼图。虽然这两幅插图看似毫无关联，但散射振幅与复杂几何代数中可执行的计算类型之间存在着重要的数学联系，其中一个特定的联系——振幅多面体——为通向万物理论提供了一条充满希望的途径。
图片来源：马克斯·普朗克科学数学研究所
作者：伊桑·西格尔
本文关键要点
自从我们有了描述宇宙的物理理论以来，研究这些理论的人就一直在寻求一个统一的理论，将自然界的所有力量、粒子和相互作用统一在一个框架中。这一探索引领我们探索了许多理论上引人入胜的途径，催生了诸如额外维度、超对称、质子衰变、弦理论等等诸多概念。然而，这些概念均未能引领我们到达理想的彼岸。2013年，理论物理学家尼玛·阿卡尼-哈米德（Nima Arkani-Hamed）提出了一种引人入胜的计算几何工具，名为“振幅多面体”（amplituhedron）。作为充满希望的年轻“正几何”领域的一部分，它最终能否为万物理论铺平道路？大多数科学家在谈论各自领域的进步时，往往谈论的是一些细微的、渐进的变化，这些变化会逐渐提高我们对宇宙运作方式的理解。但当我们思考科学史上最伟大的进步时，它们往往以革命性的飞跃发生，彻底推翻我们先前对宇宙运作方式的看法。尤其是狭义相对论和广义相对论、量子力学和量子场论，以及大爆炸和宇宙膨胀等革命性理论，彻底推翻了我们先前对事物实际行为方式的认识。作为物理学的“圣杯”，许多人长期以来一直在寻求一种万物理论，试图在一个框架内，甚至可能用一个方程来解释整个宇宙中的每一个粒子、现象和相互作用。
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众所周知，过去人们曾进行过许多尝试。西奥多·卡鲁扎增加了额外的维度，试图统一引力和电磁力。布莱斯·德威特和约翰·惠勒率先提出了量子引力理论。包括霍华德·乔治和雪莱·格拉肖在内的一批物理学家提出，要用“大统一理论”来统一标准模型中的所有力。而弦理论则追求更高的目标，试图建立一个真正的万物理论。到目前为止，这些（以及类似的）想法都未能带来新的物理学发现，也未能得到证实其预测的观测结果。但随着正几何领域的发展，这一切会改变吗？这就是斯蒂芬·约翰逊想要知道的，他问道：
“正几何学到底发生了什么？它值得关注吗？这个年轻的领域……能找到万物理论吗？”
人生中任何努力，大胆尝试都无可厚非，而尝试建立万物理论则无疑算得上孤注一掷。正几何有机会，但前路漫漫。原因如下。
当中性K介子（包含一个奇异夸克）衰变时，通常会净产生两个或三个π介子。需要超级计算机模拟才能了解在这些衰变中首次观测到的CP破坏水平是否与标准模型的预测一致。除了少数粒子和粒子组合外，宇宙中几乎所有粒子组都是不稳定的，如果它们不湮灭，就会在短时间内衰变。
图片来源：布鲁克海文国家实验室
当谈到控制宇宙的粒子和相互作用时——至少，就我们今天所理解的宇宙而言——我们目前有两种独立且不相容的方式来理解我们的物理现实。
在引力方面，我们有爱因斯坦的广义相对论：我们的经典引力理论，其中质量和能量使时空结构弯曲，包括允许其膨胀或收缩，而弯曲的时空决定了物质和能量如何在时空中移动。在粒子物理学方面，我们有基本粒子的标准模型，它决定了宇宙中夸克、轻子和已知玻色子的性质，以及它们之间发生的相互作用：电磁力、弱核力和强核力。我们知道如何在这两个框架下进行所有计算：在广义相对论中解决涉及引力的问题，在量子场论（使用广义相对论规定的背景时空）中解决涉及其他三种力的问题。这使我们能够计算宇宙中发生的大多数现象，但在我们能够解释的部分仍然存在一些空白，这进一步激发了我们对更好、更全面的理论的探索。（换句话说，就是对万物的理论。）
人们普遍认为，在某种程度上，引力就像其他力一样，是量子的。虽然计算黑洞衰变的半经典近似需要在爱因斯坦弯曲空间的经典背景下进行量子计算，但这种方法可能无法捕捉到外辐射所具有的全部物理行为，尤其是在信息方面。
图片来源：Aurore Simmonet
我们不知道暗物质或暗能量是什么，也不知道为什么我们的宇宙中物质比反物质多。我们不知道标准模型粒子的质量为何如此，也不知道为什么这些质量远低于普朗克尺度。我们不知道当粒子穿过双缝时，它的引力场会如何变化。我们也不知道当你非常接近一个非常密集的质量源，比如黑洞时，任何基本力会如何变化。我们非常希望出现一个超越我们现有理解的新理论，它能够帮助我们解决这些当前的难题，并开启一个新时代，让我们能够以当今我们尚不了解的方式理解宇宙。
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诚然，过去人们尝试过许多方法，但由此产生的各种预测尚未得到验证或实验证实。其中一些新颖的预测包括：
质子衰变，无中微子双β衰变，存在可在对撞机上探测到的、超出标准模型的新粒子，额外维度的证据，改变味道的中性电流的证据，希格斯玻色子或多个希格斯玻色子的复合性证据，重子数违反相互作用，以及其他一些激动人心的物理学前沿探索。不幸的是，我们所有针对这些预测现象的实验和观察研究都无功而返，这极大地限制了我们宇宙在更基础层面上的实际行为。
弦理论的核心思想是，我们所知的所有量子，都由微小的弦来描述，这些弦在极小的尺度上以各种方式振动：远低于迄今为止探测到的尺度。弦理论是对量子引力框架的一种尝试，可以说是在超普朗克尺度上探索宇宙真实存在的唯一可行候选理论。
图片来源：伯克利宇宙物理中心
大多数人认为，如果万物理论存在，它将具有一组特定的属性。他们假设宇宙本质上是量子的，并且有可能构建一个量子引力理论，将引力置于与其他三种固有量子力同等的地位。他们假设宇宙中已知的粒子之间存在着更多的关系和更深层次的（数学）联系。他们假设我们今天所观察到的无法解释的现象，例如暗物质和暗能量（等等），是存在新粒子的间接证据，或许还有一系列超越标准模型的新粒子。
但我们不能随心所欲地写下任何我们想写的东西，试图构建一个更宏大的理论，涵盖所有已知知识以及所有这些假设。我们还必须受到物理现实的约束，包括来自费米实验室和大型强子对撞机等粒子对撞机的所有精确现有数据，这些数据告诉我们哪些标准模型的扩展被排除了。然后，我们必须面对给我们带来最大挑战的任务：我们必须弄清楚如何以定量的方式计算我们的万物理论预测了哪些与我们实际物理可观测量相关的新贡献。
如今，费曼图几乎用于计算涵盖强力、弱力和电磁力的所有基本相互作用，包括在高能和低温/凝聚态条件下的相互作用。图中所示的电磁相互作用全部由一个承载力的粒子——光子——控制，尽管是由同一类型的粒子介导，但可以产生吸引、排斥或“其他”相互作用。
图片来源：VS de Carvalho 和 H. Freire，Nucl。物理。乙，2013
当你听到量子场论时，你可能会想到类似上述的情况：我们将大量的费曼图（描述特定粒子组之间所有可能相互作用的路径）相加，以计算粒子如何相互作用。虽然从某种意义上来说这是正确的——这确实是量子电动力学和弱相互作用计算中大多数计算的执行方式——但这种技术的实用性存在根本性的限制。
耦合强度设定了一个限制：这种技术适用于电磁力和弱核力等力，其中耦合较小，并且计算大量更复杂的图表会使您越来越接近实际的物理答案。第二个限制是由方法本身设定的：你无法通过逐步计算越来越多的项来任意接近精确答案。最终，你会遇到一个限制：费曼图方法给出的不是收敛的项级数，而是渐近的项级数。计算的项数超过一定数量时，即使这个数字可能非常大，进行更复杂的计算实际上会让你离答案更远，而不是在较早的点截断你的费曼图级数。避免这些限制的方法不是放弃量子场论，而是超越费曼图的微扰方法，并执行底层量子场论所要求的完整解析计算。
格点 QCD 方法的图示表明，空间和时间被离散化为格点上的一组网格状点。随着点间距减小，格点的整体尺寸趋于无穷大，QCD 计算的真值会越来越接近准确度。
例如，对于强核力，我们有格点 QCD 技术，该技术之所以得到发展，是因为费曼图技术对于计算可观测量完全无效。强力耦合的强度是罪魁祸首，因为它非常强，以至于即使将费曼图计算到一圈阶，也会比简单地计算简单的树级近似值离正确答案更远。因此，我们在空间和时间点的网格（即格子）上制定规范理论，使格子尽可能大，格子点之间的空间尽可能小。随着计算能力的进步，格点 QCD 的精度也在提高。
但这并不是万物理论；这只是在标准模型内计算事物的一种方式。然而，格点QCD和传统的费曼图计算都有一个非常重要的共同点：它们使科学家能够将一个非常严密的数学框架（底层量子场论）与实际可观察和可测量的量联系起来。
当物理学家（以及普通人）谈论万物理论或量子场论时，他们往往会忽略那些可观测量究竟是什么。在大多数情况下，他们关注的重点主要有两个：
截面，或在散射相互作用过程中发生特定过程的可能性，和散射振幅，或者说出射量子波与相互作用前粒子的入射平面波相关的概率。当重轻子（例如图中所示的τ介子）衰变时，它可以通过实过程（b、c）和虚过程（a）衰变为两个π介子。此外，还可能发生散射（d）效应。计算这些衰变需要了解强相互作用（包括所有夸克和胶子）对这些图中中间成分的贡献，这对于τ介子和μ介子来说都很困难。在粒子物理学中，计算散射振幅和截面对于将理论与实验联系起来尤为重要。
图片来源：R. Aliberti et al./Muon Theory Initiative, arXiv:2505.21476, 2025
正是考虑到理论物理学的这些方面，正几何领域才引起了物理学家和数学家的极大兴趣。上图显示的是名为“振幅多面体”的数学结构的可视化。（没错，名字有点拗口，但这个名字是有原因的！）振幅多面体是一种数学几何结构，由两位研究人员——尼玛·阿尔卡尼-哈米德和雅罗斯拉夫·特恩卡——提出，他们当时正在研究计算量子场论（尤其是规范场论）中的散射振幅。
散射振幅的一个被低估的方面是，它们具有对称性，因此具有简单性。但这些对称性在典型的“写下费曼图，计算它们，然后将它们相加”的方法中并不容易体现。为了在使用费曼图时使散射振幅归一化，你必须执行一些复杂的数学技巧，例如：
重新规范化以确保所有可能结果的概率加起来等于 1（这一特性称为幺正性），并施加外部条件，例如局部性，这样宇宙的两个不同区域之间就不会发生相互作用，除非信息传输的速度比光速快，否则它们不会相互影响。振幅多面体的一个非常吸引人的特征是，这两个特征，幺正性和局部性，是可以通过使用振幅多面体框架推导出的必要（但不是根本）结果，Arkani-Hamed 和 Trnka 立即注意到了这一点。
这幅草图展示了四维振幅多面体（amplituhedron）在总共8个组件的情况下的三维表面。该图出自一篇论文，该论文于2013年公开，并于2014年发表，标志着振幅多面体结构的首次亮相。
图片来源：N. Arkani-Hamed 和 J. Trnka，《高能物理杂志》，2014 年
无可否认，振幅多面体的灵感源自弦理论中的许多思想，因为它并非应用于标准模型，而是应用于最大超对称的N = 4 超杨-米尔斯向量空间。这些超空间（超对称性正是基于此构建）的数学基础是格拉斯曼数，它们本身是定义复向量空间的外代数的元素。物理学与数学的联系就在于此：
物理学家对计算散射振幅很感兴趣，振幅多面体是一种几何结构，可以实现并促进其中一些计算，其中（对弦理论家来说非常有趣的）N = 4 超对称杨-米尔斯理论对应（等价于）扭转空间中的某个弦理论模型，并且，从数学角度来看，amplituhedron 与n维空间中的簇代数和正格拉斯曼流形（而不局限于我们习惯的 3 维）相连。事实上，当人们谈论“正几何”时，他们关注的正是这种联系的数学层面，而物理学家通常更感兴趣的是可以利用它计算的可观测量（即散射振幅）。不出所料，许多人同时研究振幅多面体/正几何的两个方面，自2013年该联系被提出以来，已有多个重要的会议和研讨会致力于探讨这一联系。
这个数学结构是一个高维几何对象，旨在将振幅多面体可视化。如果能计算出选定边的投影面体积，就能知道相应系统的散射振幅：这是一个巨大的数学进步，至少在原则上与物理系统极其相关。
图片来源：Jgmoxness/Wikimedia Commons
这是一种非凡的方法，它有可能使物理学家能够从几何学的角度重新表述量子场论，这是人们考虑将广义相对论与量子场论统一起来的主要途径之一，也是构建万物理论的候选方法。振幅多面体是一种极其强大的计算工具，它使人们能够手动计算（请注意，是手工计算）那些即使事先用计算机也无法计算的问题的散射振幅。它为执行这些关键计算提供了一个比以往物理学家研究此类问题时所使用的工具更简单的工具。
这是一种令物理学家垂涎的理论发展，而幺正性和局域性从这种方法中自然而然地浮现出来的“精确性”，在物理学界引发了一波思考：或许这些并非自然界的基本属性，而是塑造我们现实的底层几何的涌现属性。如果你像我一样接受过传统物理学的训练，你可能会认为散射是一个源于以下过程的过程：
粒子，在特定时间以特定姿势在一定时间间隔内以某种方式进行交互，然后导致稍后以特定位置和动量逸出的粒子，看到一种完全不同的方法可能会让人感到惊讶。但在正几何中，它基于罗杰·彭罗斯1967年提出的扭子理论所描述的空间类型，只需写下一组简单的项，并以直接的方式计算，就能得到一个可以计算体积分量的几何对象。这就是正格拉斯曼流形，也是正几何的数学与散射振幅物理学之间的联系所在。
虽然这幅图看起来与传统的费曼图截然不同，也不太像传统的几何对象，但它在正几何领域内编码了一个用于计算多粒子相互作用系统散射振幅的框架。这个壳上图有助于将格拉斯曼流形的数学与散射振幅联系起来。
图片来源：B. Chen 等人，《欧洲物理杂志 C》，2017 年
自从振幅多面体首次被提出并用于计算目的以来的12年里，取得了许多进一步的进展：主要是在数学方面，这是物理理论发展过程中一个普遍被低估的方面。特别是围绕以下数学工具的关键发展：
代数几何，组合学，以及D模块理论，都在帮助正则几何领域蓬勃发展，并引导许多人发现与物理世界的惊人联系，从粒子物理学到宇宙学。
是的，没错：在宇宙学中也是如此。诚然，我们可能生活在一个拥有三个空间维度和一个时间维度的宇宙中，而正几何领域仅在高维数学空间中明确起作用。但是，通过用高维几何对象（包括振幅多面体）的体积来表示我们传统上（在物理学中）所认为的“相互作用”，我们可以利用一种新的计算能力。宇宙多面体本身就是正几何，它们可以帮助物理学家理解大爆炸遗留的遗迹中可能出现哪些类型的特征——包括宇宙中的大尺度星系分布和宇宙微波背景辐射——从而了解和重建导致我们所知宇宙诞生的物理定律。
正如致力于研究这一问题数学层面的数学家克劳迪娅·费沃拉（Claudia Fevola）和安娜-劳拉·萨特尔伯格（Anna-Laura Sattelberger）今年早些时候所写：“现在，科学界需要研究这些新兴数学对象和理论的细节，并对其进行验证。” 换句话说，是的，它值得关注，并且有可能引领我们走向万物理论。然而，它也可能将我们引入一条新的死胡同，最终走向死胡同。要知道最终结果如何，唯一的方法就是充分探索，让大自然最终做出决定
来源：人工智能学家
