摘要：在量化交易中，最优执行（Optimal Execution）是一个核心问题。对于大型机构或高频交易公司而言，直接在市场上执行大额订单可能会引发市场冲击（Market Impact）和价格滑点（Price Slippage），从而降低收益。因此，顶级量化公司采用

在量化交易中，最优执行（Optimal Execution）是一个核心问题。对于大型机构或高频交易公司而言，直接在市场上执行大额订单可能会引发市场冲击（Market Impact）和价格滑点（Price Slippage），从而降低收益。因此，顶级量化公司采用多种订单拆分策略，以最小化执行成本，提高交易效率。本文将详细介绍这些方法，并结合学术理论与具体案例分析。

01

随机控制理论（Stochastic Control）&最优执行策略（Optimal Execution）

在顶级量化公司中，利用随机微分方程（Stochastic Differential Equations, SDEs）建模市场微观结构噪声并优化订单执行算法，是高频交易和算法交易的核心技术之一。这一过程旨在降低滑点（Price Slippage，即预期价格与实际成交价格的差异），从而提升交易策略的盈利能力和稳定性。

随机控制（Stochastic Control）是控制理论的一个分支，主要研究在不确定性环境下如何最优决策。它的发展与动态规划（Dynamic Programming）以及随机微分方程（Stochastic Differential Equations, SDE）密切相关。

- 贝尔曼方程（Bellman Equation）：在动态规划的框架下，给定状态sss 和策略 aaa，最优控制问题可以通过递归优化来求解。

- 汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程：这是随机控制中的核心偏微分方程，用来描述最优策略如何随时间演化：

其中L是生成算子，V是价值函数，f是奖励函数。

经典应用：最优消费与投资

Merton’s Portfolio Problem（Merton 1971）：研究投资者在随机市场中如何最优分配财富，资产价格满足布朗运动：

投资者的目标是最大化终端财富的期望效用：

其中π是投资比例，XT是终端财富。该问题的解通过HJB方程获得。

随机控制在量化交易中的应用

目前，随机控制理论最重要的量化交易应用之一是最优执行策略（Optimal Execution）。顶级量化公司如Citadel、Two Sigma、Jump Trading 以及 Renaissance Technologies 都在使用这一理论优化交易执行，以降低冲击成本，提高交易效率。

交易执行中的随机控制问题

当大型基金或高频交易公司执行大额交易时，他们面临的问题是：如何拆分订单，以最小化市场冲击和价格滑点？这一问题可以建模为一个随机控制问题。

问题设定：

- 目标：最大化执行收益，或最小化执行成本

- 状态变量：

- Xt：剩余订单量

- St：市场价格

- Pt：交易影响（Price Impact）

控制变量：

- ut：每个时间步长的交易量

最优执行的数学框架（Almgren-Chriss 模型）： 经典的 Almgren-Chriss（2001）模型假设市场价格服从随机过程：

其中，λut是市场冲击的影响，λ是冲击参数。目标是找到一个最优交易路径 ut，以最小化交易成本。最优控制方程：

该方程的解提供了一种最优交易曲线（Optimal Trading Trajectory），可以平衡执行速度与市场冲击成本。

Almgren-Chriss 最优执行模型

Almgren 和 Chriss（2001）提出的最优执行模型（Optimal Execution Model）是量化交易中最经典的订单执行框架之一，广泛应用于机构投资者和顶级量化公司。当机构投资者或量化交易公司希望执行大额订单时，他们不能一次性直接在市场上卖出（或买入），否则会造成市场冲击（Market Impact），使执行价格大幅偏离理想价格。因此，订单需要拆分并逐步执行，以减少市场冲击的影响。Almgren-Chriss模型使用随机控制理论，在给定时间内寻找最优交易速率，使交易成本最小化。

Morgan Stanley、Goldman Sachs、Two Sigma等机构基于 Almgren-Chriss 框架，结合实际市场数据优化交易执行策略。该模型的目标是最小化执行成本和价格冲击的权衡：

1. 市场冲击成本：瞬时冲击由交易速率ut引起，假设其影响为λut（线性冲击）。

2. 滑点（Slippage）：由于价格波动，可能会导致更高的交易成本。

以上公式中：

- 第一项λut2代表冲击成本（更快的交易带来更大冲击）。

- 第二项ηXt2代表剩余订单的未执行风险（交易得太慢，市场价格可能变化）。

因此，我们希望找到一个最优交易速率ut∗使得总成本J最小。通过求解变分法方程（Hamilton-Jacobi-Bellman 方程），可以得到最优执行策略：

这意味着：

- 初始交易速度较快，因为剩余时间较长，需要尽快降低持仓风险。

- 随着时间推移，交易速度逐渐减慢，以减少市场冲击。

这种执行模式被称为前向负加速执行（Front-Loaded Execution）。

假设BlackRock需要执行1,000,000 股某股票的卖单。如果他们一次性全部卖出，市场价格可能会急剧下跌。因此，他们使用Almgren-Chriss 模型，拆分订单如下：

- 交易总时长T=2小时

- 市场冲击系数λ=0.01

- 订单初始量X0=1,000,000

根据最优策略，BlackRock会在开始时以较快的速度卖出50万股，然后逐步放缓交易，最后以较小的速度完成剩余交易。这种方式减少了市场冲击，并使得平均执行价格接近市场中枢价格。

高频交易公司在市场中执行大量订单，并希望最小化价格滑点。例如，Citadel Securities 在高频做市（Market Making）时，会在微秒级别计算最优执行路径：

- 在流动性较强的市场，快速执行订单以降低风险。

- 在市场流动性较弱时，放缓交易速率，减少市场冲击。

他们的策略通常基于Almgren-Chriss 模型的扩展版本，并结合深度强化学习（DRL）来动态调整交易路径。

进一步优化：机器学习+ 随机控制

Almgren-Chriss模型虽然经典，但它的线性假设较为简单，顶级量化公司通常会结合机器学习+ 随机控制优化执行策略：

- 非线性市场冲击模型：市场冲击可能是非线性的，随着订单执行累积，冲击可能加剧。

- 深度强化学习（DRL）+ SDEs：利用强化学习智能体训练最优交易策略，适应不同市场环境。

- 高频交易（HFT）优化：基于市场微观结构信号（如订单流量、买卖盘不对称）动态调整交易速率。

02

其他核心拆单方法

顶级量化公司在最优执行（Optimal Execution）方面采用了多种策略，除了经典的Almgren-Chriss 模型，还有更复杂的订单拆分方法，以最小化市场冲击和价格滑点。这些方法通常结合了随机控制理论、机器学习、强化学习，甚至是多智能体博弈。以下是几种核心拆单方法：

最基础的方法是按照时间或成交量均匀拆分订单，这种方法被广泛应用于机构交易中。

- VWAP（Volume-Weighted Average Price）：目标是让执行价格尽可能接近市场的成交量加权平均价格。交易算法会预测未来一段时间内的市场成交量，并按照历史成交量曲线进行交易。

- TWAP（Time-Weighted Average Price）：按照时间均匀地拆分订单，以降低市场冲击，适合流动性较低的市场。

Two Sigma和 BlackRock 在被动执行（Passive Execution）时常使用 VWAP/TWAP 来减少对市场价格的影响，尤其是在执行 ETF 订单时。Renaissance Technologies 可能会调整 VWAP 策略的权重，使其更适应短期市场波动。

POV交易策略会动态调整订单流，使其交易量与市场整体交易量保持一定比例，以最小化市场冲击。

- 例如，设置目标参与率 为5%，即如果市场上一分钟成交了1,000,000 股，算法会下 50,000 股的订单。

- 如果市场成交量上升，算法会自动增加交易量，反之则减少。

Citadel Securities使用 POV 方法在市场波动时调整订单执行节奏，以减少大额订单带来的市场影响。Jump Trading 结合微观结构信号，动态优化参与率，使交易更符合市场节奏。

相比Almgren-Chriss 的固定冲击假设，一些先进的量化公司使用 市场冲击响应函数 来优化执行路径。

- 交易员的订单会影响市场价格，市场价格随后会部分回归（Mean Reversion），因此订单应该基于这种影响进行优化。

- 价格冲击可以建模为短期冲击+ 长期冲击：

其中：

- λut：瞬时市场冲击

- η∫0te−κ(t−s)usds：长期市场影响（逐渐回归均值）

Morgan Stanley和 Goldman Sachs 采用冲击模型来优化大额订单拆分，减少市场感知风险（Market Awareness）。Renaissance Technologies 可能使用更复杂的非线性市场冲击模型，以精确控制执行成本。

近年来，许多顶级量化公司将强化学习（RL）与最优执行结合，训练智能体来学习最佳交易路径。

- 交易智能体将市场作为一个马尔可夫决策过程（MDP），训练目标是最大化长期执行收益：

其中Rt是执行收益，γ是折扣因子。

- 通过模拟市场环境，智能体可以找到比固定VWAP/TWAP 更优的交易路径。

Two Sigma 在论文中提到使用深度RL 训练交易执行算法，以优化订单流。Citadel Securities 可能在高频交易（HFT）中应用 RL 来优化交易速率。

有些量化公司会利用订单簿的隐含流动性（Hidden Liquidity）来执行大额交易，而不是直接在市场上挂大单。

- 冰山订单（Iceberg Orders）：拆分成小批量订单，隐藏真实交易量，以防止市场价格滑动。

- 暗池交易（Dark Pool Trading）：使用非公开交易平台，在不影响市场价格的情况下完成大额订单。

- 流动性检测（Liquidity Seeking）：通过分析订单簿深度和市场微观结构，在最优时机执行交易。

应用案例：

-Virtu Financial 和Jane Street 在ETF 做市时，会利用暗池流动性来降低执行成本。

- Morgan Stanley 采用隐含流动性模型，使交易执行对市场影响最小化。

未来，随着机器学习+ 随机控制的发展，量化交易中的最优执行策略会更加智能化和动态化，进一步提升执行质量和市场效率。可能的应用有：

- 量子随机微分方程：利用量子计算加速高维SDE的求解。

- 神经随机控制：用深度学习替代传统HJB求解器，处理非线性、高维状态空间。

- 多资产耦合模型：在跨市场套利中建模资产间的微观结构噪声传递。

来源：山之出云