应用“瓜豆思维”变换求解动线段最值问题“多例说”

摘要：都知道，平面几何动态问题中的“瓜豆原理”，其的思维逻辑其实就是“旋转变换”。我们在求解相关动态问题的最值时，不妨运用“瓜豆思维”变换（旋转缩放，一转两相似）求解相应最值问题。现举例六题，大家一起来说说：

都知道，平面几何动态问题中的“瓜豆原理”，其的思维逻辑其实就是“旋转变换”。我们在求解相关动态问题的最值时，不妨运用“瓜豆思维”变换（旋转缩放，一转两相似）求解相应最值问题。现举例六题，大家一起来说说：

【例一】（如图）正方形ABCD边长为1，点E、F分别在AD、BC边上运动，且DE=BF，连EF，将其绕点E逆转90º得线段EG，求CG的最小值

【分析】首先，由已知构得：主动△OAE，主动点E，关联从动△OEG，点G为从动点，其形状确定（∠OEG=90º，OE/EG=1/2）；然后，以主动三角形中的定边OA为边作定△OAP与从动△OEG相似，即：将从动△OEG绕定点O逆转使OE与OA重合（旋转缩放相似）；最后，一转两相似可得从动点G的相关定值元素，从而确定其的轨迹…具体求解过程如下：

【例二】（如图）正方形ABCD边长为1，E为CD边上一动点，连AE，将AE绕点E顺转90º得EF，连BF、BE，求（BF＋√2BE）最小值

【分析】首先，构造√2BE，将△BEF绕点E逆转90º得△GEA，∴BG=√2BE，得（BF＋√2BE）=（GA＋GB）；然后，应用“瓜豆思维”以主动△BCE关联从动△BEG，将从动△BEG绕定点B顺转缩放使BE重合BC得△BCH，连HG得点G的轨迹；最后，应用“饮马”求得最值…具体求解过程如下：

【例三】（如图）正方形ABCD的边长为6，点P为AD上的动点，连CP，以CP为直角边作直角Rt△CPQ，使∠CPQ=90º，∠PQC=30º，连接BP、BQ，求（2BP＋BQ）的最小值

【分析】首先，作△BCM构造△MCP∽△BCQ得PM=BQ/2（或将△BCQ绕点C逆转缩放使CQ与CP重合得△MCP）；然后，易得（2BP＋BQ）=2（BP＋BQ/2）=2（BP+PM）；最后，应用“饮马”…具体求解过程如下：

【例四】（如图）在矩形ABCD中，AB=4√3，AD=4，DC边上一点P，连BP以BP为直角边作Rt△BPQ，使得∠PQB=30º，求（DP＋AQ）的最小值

【分析】首先，连BD，应用“瓜豆思维”旋转变换，将△DBP绕定点B旋转60º缩放到PB重合QB得△FBQ，易得点Q的轨迹，DP=FQ/2；然后，（DP＋AQ）=（AQ＋FQ/2），应用“胡不归”；最后，求得最值…具体求解过程如下（有多种位置可实施旋转缩放）：

【例五】（如图）Rt△ABC中，BA=BC=4√2，⊙C的半径为2，点D为直线AB上动点，点E在⊙C上，将DE绕点D顺转90º得DN，连接BN，求：BN的最小值

【分析】首先，连半径CE=2，连CD成△CDE，关联等腰直角△DEN，暂时视点D不动；然后，应用“瓜豆思维”作等腰直角△CDM连NM=2，还原动点D，Rt△BCD关联△CDM，再次应用“瓜豆思维”以定边CB为腰作等腰直角△BCP连PM；最后，易知Rt△BCD∽△PCM，可得点M的轨迹为定直线PM，由两次缩放可得BN最值…具体求解过程如下：