2025北京初三（上）期末数学汇编：二次函数章节综合（填空题）

摘要：顶点式应用：形如\(y=a(x-h)^2+k\)（\(a≠0\)）的表达式可直接确定顶点坐标\((h,k)\)与开口方向（\(a>0\)开口向上，\(a

一、二次函数表达式与图象基础

（一）表达式形式与转化

顶点式应用：形如\(y=a(x-h)^2+k\)（\(a≠0\)）的表达式可直接确定顶点坐标\((h,k)\)与开口方向（\(a>0\)开口向上，\(a

一般式与系数关系：通过一般式\(y=ax^2+bx+c\)（\(a≠0\)）的系数判断特征：a决定开口方向，c决定与y轴交点（\((0,c)\)）。如第 18 题要求 “开口向下且与y轴正半轴相交”，需满足\(a0\)，可写出\(y=-x^2+1\)；第 20 题 “开口向上且过\((0,-1)\)”，需\(a>0\)且\(c=-1\)，示例为\(y=x^2-2x-1\)。

（二）图象平移规律

遵循 “左加右减自变量，上加下减常数项”，针对顶点式操作更便捷。如第 3 题将\(y=2x^2\)（顶点式\(y=2(x-0)^2+0\)）向右平移 2 个单位（自变量减 2）、向上平移 1 个单位（常数项加 1），得到\(y=2(x-2)^2+1\)；需注意平移仅改变顶点位置，不改变开口方向与形状（a值不变）。

二、二次函数图象性质

（一）对称轴与对称性

对称轴求解方法

顶点式：直接读取\(x=h\)，如第 9 题\(y=(x-1)^2\)的对称轴为\(x=1\)。

一般式：利用公式\(x=-\frac{b}{2a}\)，如第 1 题抛物线\(y=ax^2+4ax+b\)，对称轴为\(x=-\frac{4a}{2a}=-2\)。

表格数据：抛物线上纵坐标相等的两点，横坐标中点即为对称轴。如第 12 题，点\((-2,-3)\)与\((0,-3)\)纵坐标相等，对称轴为\(x=\frac{-2+0}{2}=-1\)；第 23 题，点\((0,6)\)与\((1,6)\)纵坐标相等，对称轴为\(x=\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2}\)。

对称性应用：已知抛物线上一点与对称轴，可求其对称点。如第 4 题，二次函数过\(A(-1,0)\)且对称轴\(x=1\)，则A的对称点为\((3,0)\)；第 22 题，方程\(ax^2+bx+c=5\)的解，可通过\(x=-2\)时\(y=5\)，结合对称轴\(x=1\)，求出对称点\(x=4\)，故解为\(x_1=-2\)，\(x_2=4\)。

（二）增减性与最值

增减性判断：由开口方向与对称轴共同决定。\(a>0\)时，对称轴左侧（\(x）y随x增大而减小，右侧（\(x>h\)）增大；\(a0\)，对称轴\(x=1\)），当\(x>m\)时y随x增大而增大，故\(m≥1\)，可取\(m=2\)。

最值特征：\(a>0\)有最小值（顶点纵坐标k），\(a0\)），要满足\(A(-1,y_1)\)、\(B(2,y_2)\)且\(y_1>y_2\)，需使A到对称轴距离大于B到对称轴距离，故\(h>\frac{1}{2}\)，示例解析式为\(y=(x-1)^2\)；第 17 题要求 “有最大值且过\((1,0)\)”，需\(a

三、二次函数与方程、不等式的关系

（一）与一元二次方程的关系

根的意义：抛物线与x轴交点的横坐标即为方程\(ax^2+bx+c=0\)的解。如第 7 题，抛物线\(y=x^2-2x\)与x轴交点，令\(y=0\)得\(x^2-2x=0\)，解得\(x_1=0\)，\(x_2=2\)；第 14 题，抛物线与x轴交于\(A(-2,0)\)、\(B(4,0)\)，故方程\(ax^2+bx+c=0\)的解为\(x_1=-2\)，\(x_2=4\)。

根的判别式应用：抛物线顶点在x轴上，说明方程\(ax^2+bx+c=0\)有两个相等实根，即\(\Delta=b^2-4ac=0\)。如第 8 题，抛物线\(y=kx^2+2x-1\)顶点在x轴上，故\(\Delta=2^2-4k×(-1)=0\)，解得\(k=-1\)。

（二）与不等式的关系

四、二次函数的实际应用

以抛射问题为典型，需建立平面直角坐标系，将实际条件转化为抛物线顶点或交点坐标，用待定系数法求解析式，进而求解未知量。如第 15 题，羽毛球飞行路线为抛物线，以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，顶点为\((6,h)\)，过\(B(0,1.3)\)、\(D(13,0)\)，设解析式\(y=a(x-6)^2+h\)，代入两点坐标解得\(a=-\frac{1}{10}\)，\(h=4.9\)。