摘要：题目：如图1，在锐角△ABC中，H为垂心，O为外心，△ABC的外接圆半径为R，内切圆半径为r。求证：AH+BH+CH=2（R+r）。

题目：如图1，在锐角△ABC中，H为垂心，O为外心，△ABC的外接圆半径为R，内切圆半径为r。求证：AH+BH+CH=2（R+r）。

解题思路（1）：过点O分别作OD⊥BC、OE⊥AC、OF⊥AB（图2），连接DE、DF、EF，则D、E、F分别为三角形三边的中点，根据中位线性质有：

EF=1/2BC，ED=1/2AB，FD=1/2AC。

连接OA、OB、OC，则OA=OB=OC=R。

根据“三角形的任一顶点到垂心的距离等于外心到对边距离的两倍”（详见三角形的四心及经典例题3例）得：

AH+BH+CH=2（OD+OE+OF），则问题转换到证明：2（OD+OE+OF）=2（R+r），即证明OD+OE+OF）=R+r。

本题证明涉及到内切圆半径r，根据三角形内切圆的半径与三角形的三边及其面积（S△ABC）存在下列关系：

r=2S△ABC/（AB+AC+BC），即S△ABC=1/2 r（AB+AC+BC）（详见三角形的三边长与三角形面积、三角形内切圆和外接圆半径的关系）。

又因S△ABC=S△BOC+S△AOB+S△AOC

=1/2 BC·OD+1/2 AB·OF+1/2 AC·OE，即

1/2 r（AB+AC+BC）=1/2 BC·OD+1/2 AB·OF+1/2 AC·OE，

BC·OD+AB·OF+AC·OE=r（AB+AC+BC）……①；

易证B、F、O、D和C、E、O、D及A、F、O、E均四点共圆，根据托勒密定理有：

1/2 AB·OD+1/2 BC·OF=OB·FD=R·1/2 AC，即

AB·OD+BC·OF=R·AC…………②；

同理，AC·OD+BC·OE=R·AB…………③；

AB·OE+AC·OF= R·BC…………④。

将①、②、③、④左右分别相加得：

BC·OD+AB·OF+AC·OE+AB·OD+BC·OF+AC·OD+BC·OE+AB·OE+AC·OF=r（AB+AC+BC）+R·AC+R·AB+R·BC，简化后为：

BC(OD+OF+OE)+AB(OF+OD+OE)+AC(OF+OD+OE)=r（AB+AC+BC）+R(AB+AC+BC)，即

(OD+OF+OE)·（AB+AC+BC）=(AB+AC+BC)(r+R)，

故OD+OF+OE=r+R，

AH+BH+CH=2（R+r）得证。

本题得到的结论为“锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其外接圆与内切圆半径之和”，利用该结论也可证明“AH+BH+CH=2（R+r）”结论的成立，简述如下。

如图3，过△ABC的三个顶点分别作所在高线的垂线，三条垂线构成△DEF，则EF∥BC,FD∥AB,ED∥AC,根据平行四边形性质易证EF、ED、FD的中点分别为点A、B、C，则点H为△DEF的外心。

设△DEF的外接圆和内切圆的半径分别为R1、r1，则有：

AH+BH+CH=R1+r1。

易证△DEF∽△ACB，其相似比是2，根据相似三角形任意对应线段的比等于相似比和等比性质：

R1/R=r1/r=(R1+r1)/(R+r)=2，R1+r1=2(R+r)，

则AH+BH+CH=R1+r1=2(R+r)。

来源：思淼教育