巧作平移求解分别在两定圆上的动点间线段最值“多例说”

摘要：双动点线段的两端点分别在两个不同的定圆上，若求其最值，我们往往先将其转化为单动点线段，但当不易转化时亦可直接用如下原始的方法求解。首先确定圆心距与两半径大小，然后作适当平移，同时导出两半径的夹角度数，最后利用三边关系求得最值。下面选编五例，大家一起来说说：

双动点线段的两端点分别在两个不同的定圆上，若求其最值，我们往往先将其转化为单动点线段，但当不易转化时亦可直接用如下原始的方法求解。首先确定圆心距与两半径大小，然后作适当平移，同时导出两半径的夹角度数，最后利用三边关系求得最值。下面选编五例，大家一起来说说：

【例一】（如图）已知弧ANB与弧AMB的公共弦AB=2√3，对应的圆心角为∠AOB=120º、∠ACB=180º，点N、M分别为两弧上的动点，且∠MAN=60º，连MN求其的最小值

【分析】首先，连两半径ON=2、CM=√3，连圆心距OC=1；然后，平移半径位置，寻找两半径ON与CM之间的夹角为150º；最后，求得CP=√13，再利用三角形三边关系…具体求解过程如下：

【例二】（如图）四边形ABCD，∠BAD=30º，∠BCD=45º，∠ABC=120º，BD=2，连接AC求其的最大值

【分析】首先，分别作△ABD与△CBD的外接圆⊙P、⊙Q，确定两半径和圆心距；然后，导角得两半径PA与QC的夹角；最后，适当平移圆心距位置后，求得GC=√10，再利用三边关系…具体求解过程如下：

【例三】（如图）在△ABC中，∠BAC=30º，BC=2，平面内一点D，连BD，满足BD=√3，∠ABD=∠C，连AD求其最小值

【分析】首先，点A与点D的轨迹分别为圆弧，知两半径，得圆心距；然后，适当平移圆心距位置，导角得两半径BD与OA之间夹角为90º；最后，求得AP=√7，再利用三边关系…具体求解过程如下：

【例四】（如图）Rt△ABD，斜边AB=4，以BD为腰作等腰Rt△BCD，BC=BD，点E、F分别为AD与BC边的中点，连EF求其的最大值

【分析】首先，由“瓜豆”求得点E与点F的轨迹分别为圆弧，知两半径与圆心距；然后，适当平移圆心距位置，导角得两半径之间的夹角为90º；最后，求得EG=√2，再利用三边关系…具体求解过程如下：

【例五】（如图）有△ABC内一点D，其满足：DB=DC=3，∠BDC=2∠BAD=120º，BD＞AD，延长DA至G，使DG=BA，点E为AC的中点，连接EG求其的最大值

【分析】首先，△ABD为“定角对定边”点A轨迹为圆弧（△ABD的外接圆⊙O’），①点E为AC的中点，易求得其的轨迹⊙3，半径为√3/2；②由DG=AB，△ABD中的“逆等线”，易求得点G的轨迹⊙O"，半径√3；然后，易求得圆心距为：O"O"’=√3/2，适当平移圆心距位置，导角得两半径之间夹角为60º；最后，求得GP=3/2，再利用三边关系…具体求解过程如下：