摘要：构造：通过 “选大半径方体 + 迭代缩小剩余集最大半径”，保证选出的方体半径趋于 0，避免 “无穷重叠”。覆盖性：用反证法，若有遗漏点则其半径无法被迭代跳过，矛盾。重叠有界：用坐标超平面划分空间，限制每个 “局部区域” 内的重叠次数，仅与维度有关。

这是 Besicovitch 覆盖定理 的经典证明，核心是从 “覆盖有界集 E 的方体族” 中选出满足两条性质的子族：

但根据选方体的过程：

核心思想：用 “坐标超平面划分象限，限制每个象限内包含 x 的方体数量”。

在二维空间中，Besicovitch 覆盖定理保证了 “从任意覆盖方体族中，选出的子族覆盖 E，且任意点最多被 4 个方体包含”。这一 “重叠有界性” 是后续证明极大算子有界性的关键 —— 通过控制重叠次数，可将 “复杂覆盖的积分” 转化为 “有界重叠的简单估计”。

简单说：二维里，不管怎么选覆盖方体，空间中任何一点最多被 4 个方体同时盖住，这个 “4” 就是重叠次数的上界，只和维度（2）有关，和具体的集合 E 无关

来源：万物皆有源一点号