摘要：“囚犯的两难”一词在1950年由德雷希尔与弗拉德两人首次正式提出，这个两难问题让其他研究人员了解到研究“非零和赛局”的困难程度，因为某位囚犯的所得，未必一定得建立在另一位囚犯的所失上。

囚犯的两难

“囚犯的两难”一词在1950年由德雷希尔与弗拉德两人首次正式提出，这个两难问题让其他研究人员了解到研究“非零和赛局”的困难程度，因为某位囚犯的所得，未必一定得建立在另一位囚犯的所失上。

现在，天使要审讯两位囚犯。该隐和埃布尔两人都涉嫌非法偷偷溜回伊甸园，只是目前并没有充分的证据足以将两人定罪。如果两个人都不承认的话，天使只能降低非法入侵的“刑责”，宣判两人在沙漠中流亡六个月，从轻发落。如果只有其中一位坦承罪行的话，自首者将可自由离去，另一位将被罚以在沙漠中蠕行并啃食砂砾维生三十年。另一方面，如果该隐跟埃布尔两人都坦承罪行的话，两人虽然都能因此减轻刑罚，但刑责是为期五年的流放生涯。该隐和埃布尔两人被分开讯问而无法互通消息，那么，他们的下一步究竟该怎么做？

首先，这个对他们造成两难的问题，看似有个理所当然的解答：该隐跟埃布尔两人都不应该认罪，如此两人才能同时获得最轻微的惩罚——在沙漠中流亡六个月。不过，如果该隐有意与埃布尔一样死不认罪，但埃布尔为了达到自身最大利益、重获自由的话，埃布尔一定会乐意在关键时刻背叛该隐。赛局理论一项重要的分析指出，尽管低头认罪会比都不认罪的合作策略招致较严重的惩罚，但却是最有可能发生的结果。该隐和埃布尔的两难展现了独善其身与互惠共荣之间的利益冲突。

德雷希尔与弗拉德两人在20世纪50年首次正式提出“囚犯的两难”一词，深入研究的塔克则证明了“非零和赛局”的研究困难程度——之所以两难，在于某位囚犯的所得未必一定得建立在另一位囚犯的所失上。塔克的研究成果随后在哲学、生物学、社会学、政治科学与经济学等领域，带动数不清的讨论文献。

芝诺悖论

根据最著名的芝诺悖论，只要乌龟在起点拥有些许领先优势的话，兔子将永远追不上乌龟；甚至可以得到乌龟跟兔子都无法抵达终点的推论。

哲学家和数学家花了超过一千年的时间想要了解芝诺悖论——关于某些运动若非应该办不到就根本是个幻觉的一组谜题。芝诺是居住在南意大利、早于苏格拉底的一位希腊哲学家，最有名的芝诺悖论谈及希腊英雄阿喀琉斯与一只迟缓的乌龟赛跑时，只要乌龟在起点拥有些许领先优势的话，阿喀琉斯就绝不可能在赛跑途中超越乌龟。事实上，这个悖论还可以蕴含我们绝对无法离开所处房间——当朝房门走去要离开房间时，我们必须先走完这段距离中的一半，接下来得走完剩余那半段距离中的再一半，再接着一直重复把剩余距离减半的动作；结果，我们将永远不可能在有限的跨步中抵达房门！在数学上，我们可以把这种无穷序列的动作之极限透过（1/2+1/4+1/8+…）的无穷级数总和来表现。一个近代的想法，是坚持这个无穷级数的总和为1，以解决芝诺悖论。只要每一跨步都耗去前一步所需的时间之一半，则完成这一连串无止境跨步所花费的时间，就跟现实生活中走出房间所需耗费的时间一样。

可是这种论证方式并不够圆满，因为它并无法解释我们如何能完成逐一走过无穷多个跨步点，因此现在的数学家采用无限小量（无法想象的极小数量，小到几乎却又不等于0）的微观概念分析芝诺悖论。结合一个称之为非标准分析的数学分支以及特别地，内含集合论，或许我们可以解释芝诺悖论，但相关的论辩并不会因此歇止，例如就有些人认为当时间、空间都是离散的时候，从甲地前往乙地所需要的跨步数就一定会是有限的。

亚里士多德轮子悖论

如图所示，一个大轮子上面黏着一个小轮子。亚里士多德的轮子悖论就是描述当这个组合轮从左往右滚时，小轮子滚过相接触棍子的距离，就和大轮子滚过地面的距离一样。

“记述在古希腊教科书《论力学》（Mechanica）上的亚里士多德轮子悖论，是一个好几百年以来让不少最伟大数学家们感到困惑的谜题。一个小轮以同心圆方式固定在另一个大轮上，则大轮圆周上的每一点，都可以在小轮的圆周上找出一对一的对应关系。也就是说，对大轮圆周上的任何一点而言，在小轮圆周上都只能找到唯一一个对应点，反之亦然。接下来，不论是以小轮在一根横杆上滚动，或者是让大轮直接在地面滚动时，这个组合轮的水平位移距离应该一样；可是这怎么可能呢？我们明明就非常清楚知道这两个轮子的圆周长是不一样的。

如今数学家们已经知道，存在一对一的对应关系并不表示两条曲线的长度相同；康托尔（Georg Cantor）就证明出不论线段长短，在上面可以取得的点基数都是一样的。他称点的这种超限数为“连续统”。举例而言，所有存在于0与1这个区间中的点，都可以用一对一的对应方式摆进另一条无限长的直线上，而在康托尔之前的数学家显然就是对这个问题百思不得其解。不过，在此也要用物理学的观点说明一下，当大轮真的在地面滚动时，被拖行的小轮其实并不会完整滚过与其接触的横杆。

虽然普遍认为《论力学》出自亚里士多德之手，但有些学者怀疑这本最古老的工程教科书，作者恐怕另有其人，也就是亚里士多德的学生、朗普萨克斯的斯特拉图（Straton of Lampsacus，亦写做Strato Physicus）。斯特拉图早在约公元前270年就离开人世，因此，这本教科书确切问世的时间和真正的作者恐怕会永远覆上一层谜一样的面纱。

圣彼得堡悖论

自从18世纪30年代开始，哲学家和数学家就开始思考圣彼得堡悖论这个问题；根据分析，参与赌局的玩家可以合理预期赢得数不尽的金钱，但是，说真的，你究竟愿意花多少钱下注？

丹尼尔·伯努利是在荷兰出生的瑞士数学家、物理学家暨医生。他写过一篇相当有趣的概概率论论文，最终于1738年发表于《圣彼得堡帝国科学学会评论集》（Commentaries of the Imperial Academy of Science of Saint Petersburg）。这篇论文主要就是讨论如今我们称之为圣彼得堡悖论的问题。这个问题与赌徒掷铜板赢钱的赌局有关，哲学家和数学家花了很长的时间，讨论参与这个赌局的合理下注金额究竟是多少，各位读者也不妨问问看自己究竟愿意花多少钱下注？

圣彼得堡悖论的一种叙述方式如下：掷一枚铜板直到它出现背面为止。假设这个过程总共掷了n次，则出现背面时，赌徒可以赢得的彩金是2n元。换句话说，如果掷第一次铜板的结果就是背面，则赌徒可以赢得的彩金是21=2元，赌局也就结束了。如果第一次掷铜板的结果是正面，那就要掷第二次铜板；要是第二次的结果是背面，彩金金额是22=4元，赌局就在此打住。其他结果以此类推。详细讨论这个赌局的悖论并不是本书重点。总归一句，根据赛局理论的分析，一位“理性的赌徒”应该在、也必须在下注金额比合理预期的彩金金额更低时，才会参与赌局，但是，在圣彼得堡悖论的这个赌局中，任何数字有限的下注金额都比赌局的预期报酬来得低，也就是说，无论我们设定出什么样数字有限的下注金额，一位理性的赌徒应该会不顾一切地赌上一把才对！

伯恩斯坦（Peter Bernstein）对于丹尼尔·伯努利提出这个寓意深远的悖论有着以下评论：“这篇是史上最深奥的论文之一，因为这篇论文同时触及了风险课题与人类行为。丹尼尔·伯努利指出理性估算与放手一搏之间的复杂关系，一种在人生所有面向都几乎无所不在的课题。

理发师悖论

所谓理发师悖论，意指镇上有一位男理发师每天都会替镇上每一位不自己动手刮胡子的男人刮胡子，无一例外；那么，这位理发师到底有没有替自己刮胡子？

英国哲学家暨数学家罗素在1901年揭示一种可能迫使集合论必须全盘修正的矛盾状况，说明这种矛盾状况的其中一种版本称为理发师悖论——镇上有一位男理发师，他每天都会替镇上每一位不自己动手刮胡子的男人刮胡子，无一例外。那么，这位理发师到底有没有替自己刮胡子？

依照前述的条件分析，这位理发师似乎只有在他不替自己刮胡子的时候，替自己刮胡子！乔伊斯（Helen Joyce）说：“顺着这个悖论延伸下去的后果将无法想象，可能得到所有数学理论都像是沙滩上的城堡一样缺乏稳固基础，所有的数学证明都不再可信。

罗素提出这项悖论的原型，旨在探讨“包含所有集合的集合本身到底是否也属于一种集合”。有很多集合（R型集合）本身并不是集合内的元素——例如，“包含所有立方体”的集合本身并不是个立方体；反之，“包含所有集合的集合”，或者是“包含所有一切除了立方体之外元素的集合”这类集合（T型集合）本身就是集合内的元素之一。所有集合若非属于R型就会属于T型，之间没有灰色地带可言。不过，罗素却怀疑是否存在一种“包含所有集合的集合、但是本身又不属于集合”的S型集合，此时既不能说S型集合也是一种集合，也不能说S型集合不是一种集合。罗素清楚知道除非提出更严谨的集合理论，否则将无法避免上述混乱又矛盾的状况。

其实，只要直接宣告“根本没有这样一位理发师的存在”，就可以很简单地反驳理发师悖论。尽管如此，罗素提出这个悖论却有助于厘清集合论的定义形式，德国数学家哥德尔就引用类似的概念提出不完备理论，英国数学家图灵也发现罗素的论证非常适用于说明不完全问题的不可决定性，一个用以探讨计算机程序会不会在有限步骤内执行完毕的评估方式。

巴拿赫—塔斯基悖论

巴拿赫—塔斯基悖论呈现出如何取一颗球的一种数字表征，并将之分解后重组成跟原先球体一模一样的两颗球。

著名但却看似诡异的巴拿赫—塔斯基悖论是由巴拿赫和塔斯基这两位波兰数学家在1924年首次提出。这项悖论（其实应该算是一种证明）指出我们有办法把球体的一个数字表征拆成许多碎片，然后再用这些碎片组合出与原先球体一样大小的两个球，甚至我们还可以把一个豌豆大小的球体分解后重组成一个跟月亮一样大的球体！另一位数学家罗宾森（Robinson）在1947年证明五片是组成球体的最低碎片需求数。

这项悖论是基于之前郝斯多夫（Felix Hausdor）的研究成果，显示我们可以在实体环境下测度的物体，譬如说是一颗球，一旦被数学家先依照定义分解成无限的点集合，再采用像是转换、旋转等不同方式重新组合后，可能就会变成另一个截然不同的物体。在巴拿赫—塔斯基悖论中所讨论的不可测度子集合（也就是把球分解后的碎片）经过繁复操作后变得非常复杂，在实体世界中已经找不到可以直接对应的边界与立体空间——而且这个悖论在二维空间中并不成立——只存在于所有维度高于二维空间的环境。

由于巴拿赫—塔斯基悖论是根据选择公理而来，而这项悖论看起来又是如此诡异，以致让有些数学家也怀疑起选择公理是否并不正确。但尴尬的是，选择公理在许多数学分支领域是如此地好用，所以，也有很多数学家往往不动声色地，继续在证明过程及提出定理的时候使用选择公理。

才华洋溢的巴拿赫在1939年被选为波兰数学学会的会长，可是过没几年当纳粹占领波兰时，巴拿赫竟被迫成为用虱子研究传染病的人体样本因而丧命。另一方面，由于波兰大学很少提供真正高阶的职位给犹太人，使得塔斯基因此改信罗马天主教，而他的家族成员在第二次世界大战期间，也几乎全数遭到纳粹毒手。

希尔伯特旅馆悖论

在希尔伯特的大旅馆中，就算所有房间已经通通客满了，但是旅馆柜台一定还是可以安排客人入住；这是怎么办到的？

在某个有五百间客房的旅馆中，每个房间都有旅客入住；在下午时分抵达旅馆的你被告知已经没有多余的客房，正当你打算无助地离开时，希尔伯特旅馆悖论登场了。想象一下这间旅馆有着无数间客房，同样每一间也都住了旅客；尽管旅馆已经客满了，柜台还是可以挪出一间客房给你。这怎么可能呢？更奇妙的是，就算同一天有数不清的旅客为了参加研讨会而下榻同一间旅馆，柜台同样可以满足所有人的要求安排房间，借此机会赚上一笔！

德国数学家希尔伯特在20世纪20年代提出这个悖论，用以描述无限这个概念不可思议的特质。让我们来看看你究竟是如何住进希尔伯特的大旅馆。当你只身一人抵达客满的旅馆时，柜台将原本住在一号房的客人挪到二号房、把原本住在二号房的客人挪到三号房……以此类推，所以现在一号房就成为你的专属客房了。而为了安排陆续抵达且无法尽数的旅客，柜台就把已经入住的旅客通通移到偶数号的房间（原一号房改成二号房，原二号房成四号房，原三号房改成六号房……），再把这些晚到的旅客通通安排进所有空出来的奇数号码房。

康托尔的超限数理论可以用来解释希尔伯特旅馆悖论，亦即尽管在一间正常的旅馆中，奇数号码的房间数一定小于旅馆的全部客房数，但是在一间有着无数客房的旅馆中，奇数房的“数量”可不见得小于旅馆全部客房的“数量”（数学家使用“基数”这个词语比较这些以无限客房为元素所组成的集合大小）。

米塞斯（Richard von Mises，1883—1953）

假设一年里有365天，则同一个房间内最少究竟需要多少人，才能让其中任两人同一天生日的概率达到50％？ 这个问题有个违反直觉的答案——只要23人就够了。

加德纳曾说过：“打从有历史记载以来，不寻常的巧合一直让我们更加相信冥冥中存在一股影响人生走向的力量，并把看似有违概率的奇迹事件认定是神与魔、上帝或撒旦的意志展现，或者说，起码把这些事件归因于某些科学或数学还无法解释的神秘定律。”生日悖论就是其中一个让学者们啧啧称奇的巧合问题。

“想象你置身在一间非常大的房间里，还有许多人一个接一个、不断地从房门外走进来，请问房间内究竟要容纳多少人，才能使其中两位生日同一天的概率达到50％？这是奥地利裔的美籍数学家米塞斯在1939年提出的问题，由于这个问题的答案和绝大多数人的直觉判断完全背道而驰，也由于这个问题如今已经成为最常在课堂上用来探讨概率的例子，更由于这个问题的题型，很适合用来分析日常生活中的各种神奇巧合，都在突显生日悖论所代表的意义。

假定以一年总共365天作为计算基础的话，这个问题的答案居然只有23人。换句话说，如果随机安排23位或更多的人在同一间房间内的话，其中某些人在同一天出生的概率就会超过50％。如果房间内有57人以上的话，同一天出生的概率会高达99％。而根据鸽笼原理，只要房间内至少有366人的话，同一天出生的概率就是100％。在此我们假设所有人在一年内任一天出生的概率相同，并忽略2月29日的影响，则n个人里面起码有两位同一天生日的概率公式是1-{365!/[365^n*(365-n)]!}，其近似值可以写成1-e^(-n^2/2.365)。

23人这个答案应该比你想象中来得少，毕竟我们并未要求必须是哪两位同一天生日，也没要求特定的出生日期，亦即任两人的生日同样在任意一天就能满足基本条件。事实上，23个人两两一对就能排出253种可能的组合，且其中任何一对都有机会在同一天出生。

智猪博弈

简单的“智猪博弈”却有复杂到难以想象的游戏策略与分析模型。1945年，美国魔术师暨发明家史卡恩成为第一位用文字描述这个游戏的人。

游戏规则很简单的“智猪博弈”却可以衍生出复杂到让人难以想象的游戏策略与分析模型，也就是说，这个游戏的重要性，在于说明很多看似简单的问题，为什么可以带出日后好几年丰硕的数学研究成果，也在于它是很多老师用来教授赛局理论的一种示范教材。

“智猪博弈”的书面描述首见于1945年史卡恩——身兼美国魔术师、赛局专家、扑克高手及发明家等多重身份——的作品，不过，这个游戏其实源自于各种古老、版本多变的“民间童玩”。游戏方式是由一位玩家开始掷骰子，直到骰子出现1点或者是该玩家自行喊停、把骰子交给下一位玩家为止。如果玩家自己喊停的话，他可以得到这一回合每次骰子点数累加后的积分，如果出现1点的话，这位玩家在这一回合将得不到任何积分，只能眼睁睁看着下一位玩家大显身手。举例来说，你第一次掷出的点数为3，第二次的点数是1，则你将得不到任何积分；接着轮到你的对手登场，他分别依序掷出3-4-6这个数列后自行喊停，则他在这一回合可以获得“13”分，并且换由你进行下一回合的游戏。游戏规则以第一位累积积分达到或超过一百分的玩家获胜。

“智猪博弈”可以说是一种“危机四伏”的骰子游戏，玩家必须自行在“丧失先前所有累加点数”，或者是在“尝试获得更多点数”之间作出风险判断。宾州盖茨堡学院两位计算机科学家内勒（Todd W.Neller）及普雷舍（Clifton Presser）在2004年，详细分析整个游戏并指出什么才是这个游戏的最佳化策略。他们两人用数学和计算机图形呈现错综复杂、有违直觉的制胜策略，也说明了为何设法在每一回合内获取最大量积分的做法，并不是一个获胜的好主意。他们用相当有意境的一句话，描述两人关于最佳策略的研究成果：“认识最佳策略‘风貌’的过程，就好像以往只能看见远在天边那颗行星模糊的外观，如今却能第一次清清楚楚看见星球表面的感觉一样。

纳什（John Nash，1928—）”

上图——分析博弈论的数学模型也可以套用在现实生活中的情境分析，应用范围可以从社会科学的国际关系涵盖到生物学，近期有关纳什均衡的研究，则是用来建构蜜蜂如何争夺栖息地筑巢的模型分析。 下图——这位就是诺贝尔奖得主纳什。这张照片是2006年在德国科隆大学所举办的博弈论座谈会上所摄。

美国数学家纳什在1994年获得诺贝尔经济学奖，获奖作品是早在快半世纪之前完成、纳什21岁时所发表27页、轻薄短小的博士论文。

在博弈论中，纳什均衡专门探讨博弈论的双方或多方参与者，会不会因为改变自身策略而获得额外好处的课题。当博弈局中的每一位参与者都选定了自身策略，而且没有任何参与者能够在其他对手维持选定策略不变的情况下，单靠自己采用不同策略而获益时，则这时所有参与者的策略组合，就称作纳什均衡。1950年，纳什第一次在“非合作博弈”的博士论文中提到，对任何有限博弈而言，不论当中究竟有多少参与者，一定至少存在一组属于纳什均衡的策略组合。

博弈理论在20世纪20年代随着冯纽曼的研究成果而有了长足发展，并且在他与摩根斯坦（Oskar Morgenstern）联名出版《博弈论与经济行为》（Theory of Games and Economic Behavior）一书后达到高峰。冯纽曼与摩根斯坦专注于研究“零和”博弈，即参与者的利益恰好相反的状况， 如今博弈分析已经被运用在人类冲突与谈判的研究，以及生物种族间的互动行为。

把焦点转回纳什身上。1958年，《财星》杂志因为其在博弈理论、代数几何及非线性理论等领域的成就，而特别点名纳什是年轻世代中思想最敏锐的数学家。看似注定继续有所成就的纳什，却在1959年被迫住院治疗，并诊断出患有精神分裂症，他相信外星人会拥立他为“南极之王”，并且认为任何像是报纸标题般的平凡事物，都隐藏着极为重要的讯息。纳什曾经自我评论道：“我不敢武断地表示数学家与疯子之间有直接连接的关系，但是毫无疑问，伟大的数学家除了总是带有疯狂、胡言乱语的特征外，多半也都承受着精神分裂症的痛苦。

纽康伯悖论

物理学家纽康伯在1960年提出纽康伯悖论这个问题。明知无所不晓的天使几乎不可能预测错误的情况下，你会把两个箱子都带走吗？

在你面前有两个法柜，或者简单一点说，有两个箱子，分别标示着“一号箱”和“二号箱”。一位天使对你说，“一号箱”里面有只黄金打造的酒杯，价值一千美元；“二号箱”里面要么是只毫无价值的蜘蛛，要么就是价值连城的蒙娜丽莎画作。 现在你可以有两个选择：一口气带走两个箱子，或者只把“二号箱”带走。

不过，天使接下来这句话让你变得难以下手：“我们已经预测了你的选择，而且你也知道，我们的预测几乎可以说是百分之百正确。当我们预测你会同时带走两个箱子时，我们会在‘二号箱’放进毫无价值的蜘蛛；当我们认为你只会带走‘二号箱’时， 我们会把蒙娜丽莎的画作放在里面。至于‘一号箱’嘛，不论我们对你的行为预测为何，里面永远都是价值一千美元的黄金酒杯。

因此你会认为应该只带走“二号箱”就好了，反正天使的预测不会出错，那么你就可以把蒙娜丽莎的画作带回家。 如果你打算两个箱子都带走的
话，天使一定早就预测了你的行为，所以“二号箱”里面只会有一只蜘蛛罢了，也就是说，你只会得到一千美元的黄金酒杯和一只蜘蛛。

可是就在这个时候，天使又开口打乱你的思绪：“我们早在四十天前就预测了你的行为， 所以我们早就把蒙娜丽莎的画作或是一只蜘蛛放进‘二号箱’里面了。不过我们可不会告诉你‘二号箱’里面究竟是什么东西。”

如此一来，你会认为应该把两个箱子都带走才能一网打尽。如果只是傻傻地拿走“二号箱”的话，最多也只能把蒙娜丽莎的画作带回家 ——为什么要白白浪费那只价值一千美元的黄金酒杯呢？

上述这个过程就是纽康伯悖论的内容架构，是由物理学家纽康伯在1960年所提出的疑问，之后则由哲学家诺齐克在1969年提出更完整的论述。 时至今日，专家们就算想破了头，也无法解决这两难的选择，对于到底该怎么做才是你的最佳策略这一点，也还一直争论不休。

巴兰多悖论

巴兰多受到类似图中齿轮般机械原理的影响，特别是装置在显微设备使用的时候，才想出有违直觉的研究成果， 并把相关见解从物理仪器带进赛局的领域。

西班牙物理学家巴兰多在20世纪90年代末指出，两个保证会让玩家赔光所有筹码的赌局，如果采用交错方式进行的话，居然能组合出赢得彩金的结果。科学作家布雷克斯里（Sandra Blakeslee）如此称赞巴兰多：“发现一条新的自然法则，可以协助我们解释，举例而言，人生如何从泥沼中钻出一条活路，为什么克林顿总统的声望在性丑闻爆发后还能不降反升，为什么看走眼的投资有时居然也能产生资本利得。”让人难以理解的巴兰多悖论应用范围广泛，包括人口动态分析到财务风险评估皆属之。

让我们假设你正在参与两种不公平的掷铜板赌局，做更进一步的说明。在赌局A中，每次掷铜板能让你获利的概率小于一半，用P1=0.5-x表达；你赢的时候可以得到一块钱，输的时候会损失一块钱。在赌局B中，你会先摸摸看口袋里的筹码金额是不是3的倍数；如果不是的话，你会用获胜概率为P2=(3/4-x)的黑心铜板下注，否则就改用获胜概率为P3=(1/10)-x的黑心铜板下注。如果赌局A和赌局B不能交错进行的话，光是黑心铜板造成x=0.005的微小误差，就足以让你最终两手空空，可是，如果你交错地参与两种赌局（或者干脆随机参加这两种赌局），你可能做梦也想不到自己居然能够大赚一笔！顺便提醒一下，在这个交错参与赌局的例子中，赌局A的结果会影响赌局B的选项。

巴兰多在1996年就想到这个悖论，不过，却是由澳大利亚阿德雷德大学生物医学工程师艾伯特（Derek Abbott）帮他取了“巴兰多悖论”这个名字，并且直到1999年才出书，论证自己这套有违直觉的研究成果。

来源：mistlike