如图，平面直角坐标系中，A、B两点分别在x轴、y轴的正半轴上，tan∠BAO＝2，，以BO为直径作⊙C，⊙C与AB交于点D，过圆上任一点E作直线AB的垂线，垂足为F。(1)求EF2＋AF2的最大值及此时点E的坐标；(2)求EF＋AF的最大值及此时点E的坐标。摘要：第一层：凡见到直角三角形，应该想到①勾股定理；②三角函数解直角三角形；③含有30°和45°角的三边关系等。
本题附图。
解前分析
这题真的有难度吗？见仁见智。
首先仔细审题，挖掘题目内涵。
第一层：凡见到直角三角形，应该想到①勾股定理；②三角函数解直角三角形；③含有30°和45°角的三边关系等。
见到什么该想到什么，平时注意积累经验
第二层：凡见到给定一个角的三角函数值，应该想到①这个角所在的三角形或辅助线构造的直角三角形当中边角关系；②互相转化，如本题给了tan∠BAO＝2，则tan∠ABO＝。另外由正切可直接求得正弦sin∠BAO＝。③通过同角或等角的三角函数，转换成比例线段；④如果以这个角的一边所在的直线为坐标轴建坐标系，角的正切与过这个角顶点的直线解析式中的k(到高中称之为斜率)有关等。
平时多总结，才可能运用自如。
第三层：给了正确和一条直角边，马上得出⊙C的半径长及斜边AB长。
第四层：凡见到圆，应该想到①同弧或等弧所对的圆周角相等；②垂径定理及其推论(过圆心向弦作垂线)；③直径所对的圆周角；④切线及其性质；⑤辅助线构造全等或相似等。
减少做题量，腾出时间用于总结。
第五层：凡见到垂直应该想到①面积法；②两直线解析式中k乘积为－1；③勾股定理；④三角函数；⑤建坐标系；⑥线段的垂直平分线性质；⑦角平分线到角两边的距离；⑧等腰三角形三线合一；⑨菱形对角线差相互垂直平分；⑩直角三角形被斜边上的高分为三组相似三角形等。
摈弃密集的做题和考试，放慢节奏。
第六层：凡见到求线段之和或差的最值，注意想到①作辅助线或辅助圆、对称、平行平移、旋转；②转化成二次函数求最值；③注意公式m2＋n2≥2mn，两边同加m2＋n2，得2(m2＋n22，当且仅当m＝n时取到等号，这对于求m＋n的最大值有用。只要平时多积累，才有可能运用自如。
积累和掌握，前提是每做完题之后留出时间消化、总结。
所以，不建议做过多的题。
积累，掌握，达到快速形成思路。
求EF2＋AF2的最大值及此时点E的坐标。如何形成思路？EF2＋AF22AE啥时候最大？当线段AE经过⊙C的圆心C的时候。空口无凭，如何证明？
如下图，在⊙C上任取一点P(与点E坚决不重合)，在△ACP中，AC＋CP＞AP。用CE代换CP，得AC＋CE＞AP，即AE＞AP。
类似地，在△ACP中，AC－CP＜AP。用CQ代换CP，得AC－CQ＜AP，即AQ＜AP。可证AQ最短。
第一问之附图。
第一问只需求出，经过⊙C的圆心C的AE的长。
由tan∠BAO＝2及OA＝易知BO＝，⊙C的半径为。
则CE＝OC＝OA，∠CAO＝45°，AC＝OA/cos45°＝，故AE＝AC＋CE＝，则AE222。此时点E的纵坐标为yE＝AE×sin∠CAO＝，点E的纵横坐标为xE＝。min＝2＝。第一问是我添加的，原题仅第二问。
第二问的详细分析和求解
求EF＋AF的最大值。
做题如同为人处事，最起码应该对事物本身有个估计和判断。
点E无非有三个可能位置：①劣弧BD上；②劣弧OD上；③左半圆弧BO上。
由题意，A、B两点分别在x轴、y轴的正半轴上，BO为⊙C的直径，圆心C在y轴上，故点C必在线段AB的左侧。
如下图，过圆心C作弦E1E2的垂线，垂足为G，则点G必和点C在线段AB的左侧。由垂径定理，E1G＝E2G＝E1E2/2，而E1F＞E1G，E2F＜E2G，故E1F＞E2F。即点E位于劣弧BD上时EF＋AF的值较大。第二问随时附图，详细分析继续：
另两种情形也容易比较。综上，当点E位于左半圆弧BO上时，EF＋AF的值最大。
EF和AF是两条垂直的线段，通过平移、旋转、作对称等手段，不易划归到同一直线上。两边之和大于第三边也难以奏效。
那就尝试作辅助线。遇到圆以及弦，垂径定理通常应首先想到。
过点C作CP⊥BD于点P，作CQ⊥EF于点Q，则四边形CPFQ为矩形，则CQ＝PF，CP＝QF。
∵tan∠BAO＝2，OA＝，
∴BO＝，AB＝5，BC＝OC＝，
由Rt△BCP∽Rt△BAO易求得CP＝1、BP＝2。
第二问随时附图，下接详细分析：
由垂径定理知DP＝BP＝2，即BD＝4，故AD＝AB－BD＝5－4－1，则AP＝AD＋DP＝1＋2＝3，AF＝AP＋PF＝3＋PF＝3＋CQ。
EF＝QF＋EQ＝CP＋EQ＝1＋EQ。
故EF＋AF＝(1＋EQ)＋(3＋CQ)＝(EQ＋CQ)＋4。
欲求EF＋AF的最大值，只需求(EQ＋CQ)的最大值。
求两线段和的最值，在不能采用作图法时，可根据实际采用公式或定理。
EQ和CQ是斜边为定长的Rt△EQC的两条直角边。
不急躁，慢慢严谨分析。
设EQ＝m，CQ＝n，m、n均不小于零，由(m－n)2≥0得m2＋n2≥2mn，两边同加m2＋n2，得2(m2＋n2)≥(m＋n)2，当且仅当m＝n时取到等号。故(m＋n)222222＝2＝5。故(m＋n)2≤10，即EQ＋CQ≤，当且仅当EQ＝CQ时等号成立。此时△EQC为等腰直角三角形。第二问随时附图。
故(EF＋AF)max＝(EQ＋CQ)＋4＝。下面求点E的坐标。
坐标系内，求某点的坐标，通常过该点向坐标轴作垂线。
“遇到什么情形该想到什么”，这是平时必须下功夫的。
过点E作ER⊥y轴于点R，则ER的长度的相反数，即为点E的横坐标。
如果能求出CR的长，再加上OC，即为点E的纵坐标。
原题只让求两线段之和的最大值。
凡是求解线段长，通常用什么方法？
①勾股定理；②全等；③相似；④三角函数、解三角形；⑤建坐标系、利用一次函数或二次函数；⑥面积法；⑦平移、旋转或对称；⑧垂径定理等。
当然，只要图形准确，用肉眼看，以及凭直觉，也很利于思路形成。
如下图，您看着Rt△ECR∽Rt△ACP是否成立？
第二问随时附图。
它们都有直角。
别奢望再找直角的夹边对应成比例。就让求夹边ER呢。
解题，要快速确定主攻方向。确定再找一组锐角对应相等。
如下图，AB和CQ均与EQ垂直，∠1＝∠2＝∠3没疑问吧。
∠3＋∠4＝45°，由三角形外角知∠6＝∠1＋∠5，∠6＝45°。
最后一张图。
故∠3＋∠4＝∠1＋∠5，其中∠1＝∠3。显然∠4＝∠5。故Rt△ECR∽Rt△ACP。
其实，您由∠4＝∠5直接用sin和cos也行。
在Rt△ACP中sin∠5＝，cos∠5＝。
则sin∠4＝＝，cos∠4＝＝，故CR＝，ER＝，故点E坐标为。括号太短小了，好像管不住里面的东西。
数学，有许多东西，明明知道，但却需要用严谨的推理给出证明。
评卷，按步骤给分。思路清晰、快速形成卷面，是很重要的。
趁假期，少做些题，留出时间体会、总结，快速提高。
假期注意好营养和身体，注意安全。
作者简介
中共党员，高中教务主任，常年兼任高中数学、物理、化学等科目。中考数学命题组成员。
专注教育领域，持续发布中考、高考压轴大题的多角度原创详细权威解析，力求篇篇经典。从不照搬答案。
到了高中，我还是您的良师益友。
发文涉及科目主要有中高考数学、物理，偶尔也有英语、化学、作文。
到了高中，俺依然是您的良师益友。
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来源：珍珠棉之港