摘要：如图，∠O=45º，点A、B是∠O两边上的动点，满足AB=2，在AB右侧作等边三角形ABC.

典例导航的主编，笔者的挚友，番禺的张大师提出如下的命题：

如图，∠O=45º，点A、B是∠O两边上的动点，满足AB=2，在AB右侧作等边三角形ABC.

（1）当AB⊥OA时，求点C到直线OA的距离；

（2）在AB运动过程中，平面内是否存在点P，且PC的长为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，说明理由；

（3）当OC的长取最大值时，求△OAB的面积？

张老师提出：昨天编一题，但第三问未想到好的命题方向，现将题分享大家，有兴趣的老师一起想想，第三问有何好主意？

分析：此题的背景是“定弦定角”产生的隐形圆问题。

需要把隐圆变成显圆！

所以此题的解答如下：

（1）1；

（2）存在，点P为△OAB外接圆的圆心.如图1，∵PA=PB，CB=CA，∴PC是AB的垂直平分线，记垂足为D，则CD=.∵∠O=45º，∴∠BPA=90º，在Rt△BPA中，PD=AB=1，则PC=1+，为定值；

（3）在图1中，连接OC、OP，在AB运动过程中，有OC≤OP+PC，当O、P、C三点共线时，OC有最大值，由（2）可知，PC垂直平分AB，∴OC也垂直平分AB，∴OA=OB，

提问1：这个解答的结果是对的。

笔者仍感觉有点突兀，即点P（△OBA的外接圆的圆心）到点C的距离，如何看出来是定值？

提问2：如果没有“定弦定角”模型的知识，学生怎么样才能想到要作△OBA的外接圆？

提问3：这个定长线段，画板能够绘制出来吗？

GGB当然是可以的！

这不过是笔者之前写的空间异面直线的定长线段的特殊情况！

GeoGebra进阶系列234：（一般化）正四面体中的定长线段（异面直线中的定长线段）的中点的轨迹

GeoGebra进阶系列233：正四面体中的定长线段（异面直线中的定长线段）的中点的轨迹，兼谈“新书出版”和“数学带动着技术”

笔者利用GGB绘制的图像如下：

静态如下：

所以，GGB很简单可以把这个问题推广到夹角为任意角度的情况！

这说明了信息技术的重要作用——不仅仅是演示！即李海东主编所提到的“信息技术也不再单纯是教师演示的工具,而是发现规律、获得猜想、解决问题的有效工具。”

可参考如下的文章：

突出数学本质，重视思维过程，发展核心素养(续)--2024年人教版《义务教育教科书·数学》解读（李海东），文献阅读学习37

提问4：此题的第3小问，还可以怎么命题？

笔者提出：

实际上，天河苏老师提出，对于命题（改编题目）的常用的一般方法：

对此，您还有什么看法？

欢迎您提出宝贵建议并交流！

来源：中学数学综合题教与学