摘要：标志着从几何直观到分析计算的范式转变。是最小作用量原理最简洁的物理实例，连接了光学和力学。展示了对称性与守恒律的深刻关系（诺特定理的雏形）。为理解弯曲空间中的测地线提供了基础。体现了数学与物理在描述自然时的统一性。作为变分法的入门范例，具有重要的教学价值。
这不是一个无聊的证明，而是具有深远的意义：
标志着从几何直观到分析计算的范式转变。是最小作用量原理最简洁的物理实例，连接了光学和力学。展示了对称性与守恒律的深刻关系（诺特定理的雏形）。为理解弯曲空间中的测地线提供了基础。体现了数学与物理在描述自然时的统一性。作为变分法的入门范例，具有重要的教学价值。证明如下：
步骤1：定义问题和作用量
在二维欧几里得平面上，两点 A(x₁, y₁) 和 B(x₂, y₂) 之间的路径长度可以用积分表示：
其中， ds 是路径的微分弧长。
在笛卡尔坐标系中
ds = √{dx² + dy²}
因此，我们可以将作用量 S 定义为路径长度：
这里， y(x) 是连接 A 和 B 的路径函数，且 y(x₁) = y₁ ， y(x₂) = y₂ 。
步骤2：应用欧拉-拉格朗日方程
最小作用量原理要求作用量 S 取极小值，即 δS = 0
这对应于泛函的极值问题，可以通过欧拉-拉格朗日方程求解。
对于泛函：
其中， F(x, y, y') = √{1 + (y')²} ，欧拉-拉格朗日方程为：
计算偏导数：
∂F/∂y = 0
代入欧拉-拉格朗日方程：
步骤3：求解微分方程
上述方程表明 y'√{1 + (y')²} 是一个常数，设其为 C ：
y'/√{1 + (y')²} = C
两边平方并整理：
(y')² = C² (1 + (y')²)
(y')² (1 - C²) = C²
(y')² = C²/{1 - C²}
由于 C 是常数， C²/√{1 - C²} 也是常数，设其为 k² ：
(y')² = k²
y' = ±k
积分得到：
y = ±kx + b
其中， b 是积分常数。
这表明路径是直线。
步骤4：验证极小值
为了确认直线对应于路径长度的极小值，我们需要检查二阶变分 δ²S 。
对于泛函 S ，二阶变分为：
计算二阶偏导数：
对于直线， y' = 常数
因此 ∂²F/∂(y')² 是正常数
二阶变分简化为：
由于被积函数恒为正， δ²S > 0 ，表明直线对应于路径长度的极小值。
于是我们通过最小作用量原理，证明了连接两点的路径长度在直线路径上取极小值，即两点之间直线最短。
这个证明的核心意义在于，它将一个直观的几何事实（“直线最短”）转化为一个可以通过变分原理（最小作用量原理）来求解的问题。
几何视角：在欧几里得几何中，“两点之间直线最短”是一个公理或定理（取决于公理体系的构建方式）。我们通常依靠图形直观或几何推理来接受它。
变分法视角：我们不再将“直线”视为几何上的默认最短路径，而是将“路径”视为一个可变的对象（函数 y(x)），将“长度”视为一个依赖于整个路径形状的泛函 L[y]。问题变为：在所有可能的路径中，哪一个使 L[y] 取最小值？
这种视角的转变是深刻的：它用分析的方法（微积分）来解决几何优化问题，开启了变分法这一数学分支的大门。
虽然我们证明的是平面曲线，但该方法可直接推广：
在三维空间中，两点间最短路径仍然是直线，证明完全类似（用参数形式 r(t) 更方便）。
在弯曲空间（如球面）上，最短路径不再是直线，而是测地线。
测地线方程正是由相同的作用量极值原理导出，只是弧长公式中的度量 ds² 变为弯曲空间的度量。
因此，这个简单证明实际上是理解测地线和广义相对论中粒子运动方程的数学基础。
同时该证明体现了数学和物理在描述自然规律时的统一：
数学对象：泛函、变分法、欧拉-拉格朗日方程。
物理现象：最短路径、光线的直线传播、自由粒子的惯性运动。
它们在这里完美交汇：自然界似乎偏好“经济”的路径（极值路径），而数学提供了寻找这种路径的通用工具。
来源：前沿科技知识分享
