摘要：自从牛顿（Isaac Newton，1643年—1727年）发现牛顿力学以来，无数极具聪明才智的人们就在努力试图建立一个放之四海而皆准的科学原理，力、热、声、光都适用。牛顿本人也曾努力过，但没有成功。这样的理论真的存在吗？最小做功原理或最小作用原理（least

自从牛顿（Isaac Newton，1643年—1727年）发现牛顿力学以来，无数极具聪明才智的人们就在努力试图建立一个放之四海而皆准的科学原理，力、热、声、光都适用。牛顿本人也曾努力过，但没有成功。这样的理论真的存在吗？最小做功原理或最小作用原理（least action principle）是一个重要的线索。

最小做功原理可以追溯到法国数学家费马。皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat，1601年—1665年）比牛顿早近半个世纪。费马出生富贵，他的父亲是一个成功的皮革商人，母亲来自贵族家庭。他从小得到很好的教育，在法学院毕业后一直在法国的图卢兹（Toulouse）当律师、议员，后来不断升迁，当上了法官和政府要员。因为他的官职及和母亲族人的联姻，他的名字中加上了“de”这个贵族头衔（图1）。费马为官正直清廉，从不接受贿赂，生活安定美满。

图1，皮埃尔·德·费马

据说费马20岁的时候在巴黎的一个书店买到了一本古罗马数学家丢番图（Diophantus，约246年—330年）的书，书中有丢番图为自己撰写的墓志铭：

这个坟墓中安葬着丢番图

他所走过的道路多么令人惊讶

上帝给予他的童年占六分之一

又过了十二分之一

他的两颊长出胡子

再过了七分之一

点燃了结婚的蜡烛

五年之后天赐贵子

享年仅有其父年龄之半

便进入了冰冷的坟墓

悲伤只有用数学来弥补

又过了四年

他自己也走完了人生的旅途

终于告别数学

离开了人世

读者可以推算一下丢番图活到了多少岁（84岁）。这本书让费马迷上了数学，而且终身不辍。作为大法官的费马用他的业余时间研究数学。他交游很广，研究的内容也很多。

此外，他也是概率论的鼻祖。最为著名的是他的费马大定律：方程xn+yn=zn，当n≥3是整数时，没有x，y，z≠0的整数解。他说他在阅读时曾对此定律想到了一个非常巧妙的证明，但书页上的空白太小，没法写下来。实际上这个定律非常复杂，直到300多年后的1994年才被证明，是数学史上的一段佳话。

费马用最小做功原理来解释光：光总是沿着所需时间最短的路径传播，因为这个路径需要的做功最小。

在后来的300多年间，许多著名的学者为最小做功原理的完善做出了贡献。首先是约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667年—1748年）和莱昂哈德·欧拉。伯努利家族是瑞士的一个望族，祖孙数代都是著名的数学家。约翰·伯努利是第二代，他和哥哥雅各布·伯努利（Jocob Bernoulli，1654年—1705年）都是莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646年—1716年）的朋友，都为微积分方法的完善和推广做出了不少贡献。莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707年—1783年）的故事请参见《广东科学中心「院士说」| 数学符号是从哪里来？》。

接着是法国科学家皮埃尔·路易·莫罗·德·莫佩尔蒂（Pierre-Louis Moreau de Maupertuis，1698年—1759年）。莫佩尔蒂出生于一个富商家庭。他年轻时兴趣十分广泛，在大学毕业后曾经参过军，学习过音乐和写作，但最后选择了科学作为终身事业。1729年，他到瑞士从师约翰·伯努利，期间他研究了牛顿—莱布尼茨的微积分，对两人的方法做了深入的探讨。1735年，他受法国科学院的委托带队前往北极测量地球的直径。团队经历了夏季的蚊虫，冬天的严寒，在回程时还沉了船。但他带领着团队安全回到巴黎，一份资料都没有丢失。他们的测量结果证明了牛顿的预言：由于地球的自转，地球赤道的直径（6378千米）比两极的直径（6356千米）要长些。正因如此，他一举成名（图2）。

1740年，普鲁士国王邀请莫佩尔蒂组建柏林科学院（当时还没有德国）。在经费紧缺的情况下，不会讲德文的他做了许多工作才把科学院建立了起来。他在任柏林科学院院长之时发表了不少文章，涉及的领域包括数学、地理、哲学、生物学、天文学等，但最重要的工作是最小做功原理。他把费马关于光线按所需时间最短的路径传播的思想推广到物体运动。因此，他也被誉为最小做功原理的奠基者。

不过，当时他的想法遇到了挑战。他的一个同门师弟认为这一思想是莱布尼茨最早提出的（后来证明莱布尼兹确实有过类似的想法）。他的故友，著名的启蒙时代思想家伏尔泰（Voltaire，真名François-Marie Arouet，1694年—1778年）则认为他的理论是形而上学（莫佩尔蒂想把这个理论与上帝联系在一起），算不上真正的科学。此时莫佩尔蒂已经步入暮年，身体也越来越差，他利用柏林科学院院长的职权压制了不同意见。1753年他不得不离开柏林回法国养病，引起了普鲁士国王的不满。1757年普鲁士与法国爆发战争，作为一个法国人，他更加无法回柏林了。1759年，他在瑞士病逝，终年63岁。

图2，莫佩尔蒂因测量地球的直径而一举成名

莫佩尔蒂的理论确实有些瑕疵，后来被约瑟夫·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736年—1813年）和威廉·汉密尔顿（William Rowan Hamilton，1805年—1865年）解决了（参见《「如虚如实说」| 能量与能量转化之机械能（二）》）。

20世纪初爱因斯坦（Albert Einstein，1879年—1955年）的相对论也用到了最小做功原理。

最小做功原理描述了自然界的深层本质。它不仅适用于力学系统，而且还适用于其他的物理系统。例如电子运动不服从牛顿力学，但却服从最小做功原理，这是由著名理物理学家理查德·费曼（Richard Feynman，1918年—1988年）发现的（图3）。

图3，理查德·费曼

费曼的一生堪称传奇。他出生于纽约一个犹太裔家庭。他在麻省理工学院获得学士学位，在普林斯顿大学获得博士学位。他在中学时有个爱人，不幸患了严重的肺结核，他仍坚持要和她结婚。他的家人认为肺结核会传染，坚决反对。普林斯顿大学则认为结婚会导致分心，威胁要取消他的奖学金。他不顾一切和爱人结婚，并将她安顿在大学旁边，一边读书一边照顾她。1943年，费曼毕业后加入曼哈顿计划（参见《如虚如实说丨核聚变与反物质》）。他把妻子安排在基地附近的一家康复中心，一有空就去照顾她，一直到她生命的最后一分钟（图4）。

图4，费曼悉心照顾他病重的妻子艾琳（Ailing）

战后费曼在南美洲游历了一年，后来加入加州理工学院任教。1965年他凭借他的论文《量子力学中的最小作用原理》（The Principle of Least Action in Quantum Mechanics）斩获了诺贝尔物理学奖。他是纳米技术的创始人。1960年代，他提出了两个挑战。一个是世界上最小的电机，两个半月后加州理工学院的一个毕业生就做出了一个只有沙粒大小的电机。另一个是在针尖上刻下一部百科全书，虽然至今尚未成功，但却激励了无数青年科学家。1986年，他负责研究航天飞机“挑战者”（Challenger）的事故原因，发现是一个密封圈的设计问题导致了航天飞机的爆炸。1988年，他因患癌症逝世。

费曼是位卓越的教师，他对科学与哲学都有深刻的认识，他在加州理工学院的物理学课总是座无虚席。今天加州理工学院还把他的物理课录像挂在网上让人们观看（图5）。费曼有一句名言：“做人的第一个原则是不要欺骗自己，记住：自己是最容易被欺骗的。”（The first principle is that you must not fool yourself and you are the easiest person to fool）

图5，费曼在授课

最小做功原理与牛顿力学不同。以地球围绕太阳运行为例[图6（a）]，牛顿想象太阳和地球都是由无数个质点组成的，他首先计算太阳上的一个质点和地球上的一个质点的引力，然后再计算其他质点对的引力，最后将所有的引力“加”在一起。显而易见，这个“加”十分棘手，既要确保没有遗漏，又要确保不能过多。为此，牛顿发明了积分学（integration）方法。不过，如果要同时考虑太阳、地球与月亮三者之间的相互引力，即所谓“三物体运动问题”[图6（b）]，牛顿的方法变得非常复杂。如果要再考虑太阳、地球和月球的自转（地球的自转周期为1天；太阳的自转周期约为27天；月球的自转周期约为27.322天，与其围地球的公转周期一样），地球的潮汐等因素，牛顿的方法就无能为力了。

图6，两物体运动问题与三物体运动问题

最小做功原理另辟蹊径。首先，它从系统的角度出发，系统的各个部分是通过能量联系在一起的。例如在地球围绕太阳运动的系统中，太阳和地球是一个整体，这个整体的动能（T）不受远处的力的影响，但对其附近的重力势能（V）会做出反应。我们可以在系统中加入各种各样的复杂因素，如自转、潮汐等等，但这个“动能—势能”（T—V）的相互作用结构是不变的。不同的系统有不同的动能：轮子转动、机械钟表摆动、行星运动、海浪波动、原子运动、电子运动等等；也有不同的势能，如位置势能、弹性势能（参见《「如虚如实说」| 能量与能量转换之机械能（一）》）、电磁场产生的势能（参见《如虚如实说 | 揭秘无处不在的电磁波》）等等。势能把系统的各部分联系起来。

根据最小做功原理，系统的动能T和势能V总会达到平衡。在力学系统中，平衡是通过变速来实现的。例如把一个球扔上高空，开始时动能（T＝½mv²）大，势能（V＝mgh）小。随着球飞得越来越高，动能降低，球的速度降低（越飞越慢）；但由于球的高度增加，球的势能增加。球落下时，高度降低，势能减少，但由于重力加速度，动能不断增加。动能总是正的（因为m≥0，v²≥0，所以T≥0）。在牛顿力学的第二定律中，F=ma；即质量（m）与加速度（a）对力（F）做出惯性反应。在最小做功原理中，系统对动能做出惯性反应，这比牛顿力学进了一步。在牛顿力学的第三定律中，作用力与反作用力相互平衡。最小做功原理进了一步，势能可正可负，并与动能相互平衡。此外，动能与势能的组合在每个瞬间都会保持最小，所以称之为最小做功原理。

最小做功原理描述了自然界的深层本质。它不仅适用于力学系统，而且还适用于其他的物理系统。宇宙间的四个基本力也都满足这个原理（参见《如虚如实说丨核聚变与宇宙间的四个基本力》）。今天它已经被广泛地应用于各行各业，从粒子运动到星系运动，从机械设计到新材料研发，从电池充电到生物化学反应，从量子运算到人工智能。

来源：杜如虚院士