摘要：这是一道初中数学拓展题：一个数字条件都不给，如何求长方形的长宽比？主要考查三角形相似及一元二次方程！如果不是要求解一元二次方程的话，小学生也能做！

这是一道初中数学拓展题：一个数字条件都不给，如何求长方形的长宽比？主要考查三角形相似及一元二次方程！如果不是要求解一元二次方程的话，小学生也能做！

如图，

三个相同的长方形，点D在NP上，点E在NB上，求长方形的长宽比及点P的位置（即AP/BP)。

提示一：三角形相似+一元二次方程！适合初中生

①△DGN为等腰直角三角形，故∠ADP=GDN=45°，从而△ADP也为等腰直角三角形，AD=AP。

②连接EP，则ADEP为正方形，故E、F、P三点共线，从而CE=BP。

③设AD=a，AB=b。由△EFN~△BCE，可得BC/CE=EF/FN即a/(b-a)=b/(a+b)，从而有b(b-a)=a(a+b)即b²-2ab-a²=0，令b/a=t，则有t²-2t-1，求得t=1+√2。

④由AB=(1+√2)AD及AD=AP可得

AP/BP=1/√2=√2/2。

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提示二：先求三角形BNP面积！如果不求解一元二次方程，小学生也能做

①由提示一可知AD=DE。连接BF，则S△BNP=S△BFP=(a+b)×(b-a)÷2=1/2(b²-a²)。

②连接DF，则S△BNP=S△DEP+S△BEP+S△DEN=1/2S正方形ADEP+1/2S长方形BCEP+S△DEF=1/2S长方形ABCD+1/2S长方形DEFG=ab。

③由①及②可得b²-a²=2ab，同于提示一可得b/a=1+√2及AP/BP=1/√2=√2/2。

来源：琼等闲