摘要：这感觉太正常了。如果说数据分析是做一桌好菜，那光有新鲜的食材和漂亮的锅碗瓢盆（软件工具）还远远不够。你至少得懂点“火候”和“调味”的学问，而这门学问，就是数学。

在这个数据张口就来的时代，我们每个人似乎都成了半个“数据分析师”。看着屏幕上花花绿绿的图表，谈论着增长、趋势和用户画像，感觉自己运筹帷幄，决胜千里。

但你有没有在夜深人静的时候悄悄问过自己，这些分析结论，到底靠谱吗？当老板指着一份报告问你“这个平均数真的能说明问题吗？”你是不是心里有点发虚？

这感觉太正常了。如果说数据分析是做一桌好菜，那光有新鲜的食材和漂亮的锅碗瓢盆（软件工具）还远远不够。你至少得懂点“火候”和“调味”的学问，而这门学问，就是数学。

一听到数学，很多人可能头都大了。别怕，我们今天不聊那些让你在大学课堂上昏昏欲睡的复杂公式和证明。我们只聊那些最朴素、最实用，甚至可以说是数据分析师每天吃饭喝水都离不开的“数学常识”。这更像是一次厨房里的闲谈，告诉你盐和糖分别是什么味道，什么时候该放，放多少合适。

这篇文章，就是我们数据分析科普系列的第三篇。咱们不求成为数学家，但求做个心中有数、不被数据轻易糊弄的明白人。

想象一下，你刚拿到一份数据，比如你们公司上个季度所有员工的销售额。密密麻麻一大片数字，第一感觉是不是眼花缭乱，无从下手？

别急，我们的第一步，就是想办法用几个简单的数字，给这堆乱麻一样的数据画个像。这就是“描述性统计”的魅力。它就像一个高明的画家，寥寥几笔，就能勾勒出数据的大致轮廓。

通常，我们会从三个角度来给数据画像，分别是：它往哪儿凑（集中趋势），它有多散（离散程度），以及它长得是胖是瘦，有没有歪脖子（分布形态）。

集中趋势，说白了就是这堆数据的“重心”在哪。它试图回答一个问题，哪个值最能代表这群数据的普遍水平？我们常用的有三个“代表”。

第一个代表，大名鼎鼎的 平均值（Mean）。这家伙你肯定熟，从小到大，算平均分都算烂了。把所有数字加起来，再除以个数，简单粗暴，童叟无欺。它确实在很多时候能很好地反映整体水平，因为它把每个数据都考虑进去了。

但是，平均值有个致命弱点，就是太“老好人”了，容易被极端分子带偏。一个有趣的现象是，每次社会上公布“平均工资”时，评论区总是一片哀嚎，感觉自己“又拖后腿了”。为什么？假设一个办公室里，十个员工月薪都是一万，但老板月薪一百万。那这个办公室的平均月薪会一下子被拉到接近十万。你觉得这个“平均数”还能代表普通员工的水平吗？显然不能。这就像我和马云的平均资产是千亿，但我的银行卡余额并不会因此多一个零。

所以，当数据里可能有这种“极端分子”（我们称之为“离群点”）时，就得请出第二位代表， 中位数（Median）。

中位数就稳重多了。它的逻辑更简单，把所有数据从高到低排个队，站在最中间的那个就是它。不管队伍两头站的是乞丐还是首富，只要中间位置的人不变，中位数就稳如泰山。还拿刚才那个办公室的例子，11个人排队，中间第六个人的工资就是一万。这个数字，显然比那个被老板拉高的平均数，更能反映真实情况。所以，下次看收入报告，别光看平均数，中位数往往更值得关注。对于那些有顺序但不能精确计算的变量，比如“满意度”分为“非常满意、满意、一般、不满意”，中位数也是描述它们集中位置的最佳选择。

第三位代表，叫 众数（Mode）。它的名字最形象，就是群众里数量最多的那个数。比如，一个鞋店进货，肯定要看哪个尺码的鞋卖得最多，这个“卖得最多”的尺码就是众数。它对于描述分类型数据特别有用，比如用户最常购买的商品类别，或者投诉最多的问题类型。它的好处是完全不受极端值影响，而且直观易懂。

总结一下，平均值、中位数、众数，就像三兄弟。老大平均值最全面但容易受骗；老二中位数最稳重，不受干扰；老三众数最接地气，关注的是“人气王”。用哪个，得看你的数据长什么样，以及你想表达什么。

知道了数据的“重心”，我们还得知道数据是紧紧抱团在重心周围，还是散落得到处都是。这就好比一个班级，平均分都是80分，但一个班的学生成绩都在75到85之间，另一个班却是从50分到100分都有。这两个班的学习情况，显然天差地别。描述这种“散开”程度的，就是离散程度指标。

最简单的指标叫 极差（Range）。就是最大值减去最小值。比如刚才那个成绩分散的班级，极差是100-50=50分。它简单直观，但毛病和平均值一样，只看两头的极端分子，中间的大部队什么情况它一概不知。

为了解决这个问题，统计学家们想出了一个更稳健的办法，叫 四分位数极差（IQR）。这个听起来有点唬人，但捅破了窗户纸就一目了然。还是让所有数据排好队，我们不光找最中间的那个（中位数，也就是Q2），我们还找前面25%位置的数（下四分位数，Q1）和75%位置的数（上四分位数，Q3）。然后用Q3减去Q1，得到的这个差距，就是IQR。

它巧妙地掐头去尾，只看中间50%的数据有多散。这就像给一个班的学生拍照，为了不受最高的姚明和最矮的郭敬明影响，我们把他们俩请出画面，只看中间大部分同学的身高范围。这个IQR在数据分析里非常有用，我们经常用它来画一种叫做“箱线图”的图形，并且用一个经验法则（比如小于 Q1 - 1.5*IQR 或大于 Q3 + 1.5*IQR 的值）来判断哪些可能是需要我们特别关注的“离群点”。

不过，要说离散程度里的“当家花旦”，还得是 方差（Variance） 和 标准差（Standard Deviation）。

这两个概念是理解数据波动的核心，我们得稍微多花点时间掰扯清楚。它的思路是这样的：既然要看数据有多散，那就看每个数据点离平均值有多远呗。

第一步，算出平均值。
第二步，计算每个数据点和平均值的差值（这叫“离差”）。
第三步，问题来了，这些差值有正有负，直接加起来很可能就互相抵消了，等于零。这可不行。怎么办？数学家说，简单，给它平方一下，负号不就没了吗？
第四步，把所有这些“离差的平方”加起来，再求个平均。好了，这就是方差。它度量了数据偏离平均值的平均“平方”距离。

但方差有个小小的“缺陷”，它的单位是原始数据的平方。比如你算身高的方差，单位是“平方米”，这听起来也太怪了。为了让它回到我们熟悉的单位，我们再做最后一步：把方差开个根号。

这个开根号后的结果，就是大名鼎鼎的标准差。它告诉我们，平均来看，数据点们大概散布在平均值上下多大的范围内。标准差越大，数据越分散，波动越大；标准差越小，数据越集中，越稳定。比如，你去买基金，两只基金的年平均回报率都是10%，但A基金的标准差是5%，B基金的标准差是20%。这意味着A基金的走势更平稳，而B基金可能今年涨50%，明年就跌30%，波动巨大。如果你是个稳健的投资者，你可能更倾向于选择标准差小的A基金。

还有一个叫 离散系数（Coefficient of Variation） 的东西，也很有意思。它是标准差除以平均值。这玩意儿是干嘛的？它是用来比较不同量级数据的离散程度的。打个比方，你想比较一群大象的体重离散程度和一群老鼠的体重离散程度。大象的体重标准差可能是100公斤，老鼠的可能是10克。你能说大象的体重波动就比老鼠大吗？不一定。大象平均体重5000公斤，100公斤的波动不算什么。老鼠平均体重30克，10克的波动可就大了去了。离散系数就是把这种相对波动给标准化了，让我们可以在不同尺度上进行公平比较。

我们知道了数据的重心和分散程度，最后一步，是看看这堆数据具体“长”成什么样。是两边对称，还是歪向一边？是中间高高耸起，还是平平无奇？

描述数据对称性的指标叫 偏度（Skewness）。如果数据完美对称，像个钟形（正态分布），那偏度就是0。如果数据大部分集中在低分段，少数高分值把尾巴拖得长长的，向右边延伸，这叫“正偏态”或“右偏”，偏度大于0。典型的例子就是个人收入，大部分人收入不高，少数富豪把平均值拉得很高。反之，如果大部分集中在高分段，少数低分值把尾巴拖向左边，这叫“负偏态”或“左偏”，偏度小于0。比如，一道简单的考试题，大部分学生都考了高分，只有少数人不及格。

另一个描述分布形态的指标是 峰度（Kurtosis）。它看的是数据在中心位置的集中程度，也就是分布图形的“尖峭”程度。以标准正态分布的峰度（通常定义为3，有些软件会减去3，以0为基准）为参照。如果峰度大于基准，说明分布比正态分布更“尖”，数据更集中在平均值附近。如果峰度小于基准，说明分布更“平坦”，数据更分散。

理解这些，能帮你避免很多坑。比如，当你拿到一份“平均用户消费额”的报告，如果留个心眼，去查一下数据的偏度，发现是严重的右偏。你心里就该有数了，这个“平均值”是被少数“土豪”用户拉高的，大部分普通用户的消费能力远低于这个数。那么，你的运营策略就不应该只盯着这个虚高的平均值，而要更多地关注占大多数的普通用户。

把单个变量看明白了，就像认识了一个个人。但数据分析的真正乐趣，在于观察“人与人之间的关系”。当两个或多个变量放在一起时，它们之间会不会有什么“潜规则”？一个变量的变化，会不会引起另一个变量的变化？

要看两个变量有没有关系，最常用的工具是 相关系数（Correlation Coefficient）。它是一个介于-1和+1之间的数字，简单明了地告诉你两件事：关系的强度和方向。

如果相关系数是+1，意味着这两个变量是完美的“正相关”。一个增加，另一个也以固定比例增加。就像夏天冰淇淋的销量和气温一样，几乎是同步增长。

如果相关系数是-1，那就是完美的“负相关”。一个增加，另一个就减少。比如你玩游戏的时间越长，考试成绩可能就越低。

如果相关系数是0，那就说明它俩之间没啥线性关系。比如你的鞋码大小和你的智商，基本可以认为是八竿子打不着。

在-1到+1之间的数值，则表示不同强度的相关性。比如0.8是强正相关，-0.2是弱负相关。

但这里，我要用加粗、下划线、放大字体的方式提醒你一句，这也是数据分析领域最容易被误解的一句话：相关不等于因果！

这是一个有趣的现象，很多看似相关的事件其实背后并没有因果联系。一个经典的案例是，数据显示，冰淇淋的销量和溺水人数呈现强正相关。难道是吃冰淇淋导致了溺水？当然不是。真正的原因是“夏天”这个隐藏在背后的因素。天气热了，吃冰淇淋的人和去游泳的人都变多了，所以它俩在数据上看起来“相关”了。这种虚假的相关性在生活中比比皆是。所以，当你发现两个变量相关时，先别急着下结论，多问一句，它们之间真的有因果关系吗？还是有其他“第三者”在作祟？

发现了相关性，我们往往还想更进一步。能不能建立一个模型，用一个变量去预测另一个变量呢？比如，我能不能根据房子的面积，来预测它的价格？

这时候， 线性回归（Linear Regression） 就闪亮登场了。

线性回归这个词听起来高级，但它的思想非常朴素，就是试图在代表两个变量关系的散点图上，画出一条“最贴合”所有数据点的直线。这条直线就像一个数学公式，比如：房价 = a * 面积 + b。

这里的a就是斜率，它告诉你面积每增加一平方米，房价大概会增加多少钱。b是截距，代表一个基础房价。一旦我们通过数据找到了最合适的a和b，这个模型就建好了。下次你只要告诉我一个房子的面积，我就可以代入公式，给你一个预测的房价。

一个电商项目，我们想预测用户的终身价值。一开始，我们只用了用户的“首次购买金额”这一个变量去做线性回归，发现预测效果很一般。这就像只用“面积”去预测“房价”，肯定不准，因为地段、楼层、朝向都很重要。

后来，我们加入了更多变量，比如“用户注册时长”、“购买频率”、“平均客单价”、“是否使用过优惠券”等等。把所有这些变量都放进模型里，用它们一起来预测“终身价值”。这种用多个自变量去预测一个因变量的回归，就叫多元线性回归。结果，模型的预测准确度大大提升。

当然，现实世界远比一条直线复杂。房价和面积的关系可能不是严格的直线，当面积大到一定程度后，价格的增长速度可能会放缓。这时候就需要更复杂的非线性回归模型。但线性回归作为我们理解变量间定量关系的第一步，其思想的简洁和强大，是无论如何都不能被忽视的。

除了看关系，我们还经常需要比较不同组别之间有没有显著差异。比如，用了A、B、C三种不同的广告文案，它们带来的点击率有没有本质的不同？还是说，这些差异只是随机波动造成的？

回答这个问题的工具，叫做 方差分析（ANOVA）。

方差分析这个名字有点误导性，它虽然名字里有“方差”，但它分析的却是“均值”的差异。它的核心思想很巧妙：它比较的是“组与组之间的差异”（比如A、B、C三个文案点击率均值的差异）和“每个组内部的差异”（比如用A文案的用户，他们点击行为本身的波动）的大小。

如果组间的差异远远大于组内的差异，那我们就很有信心地说，这几个组（这几个文案）确实不一样，这种差异不是偶然。反之，如果组间的差异和组内的差异差不多大，那我们可能就要怀疑，这几个文案带来的点击率差别，可能就是运气好坏而已，本质上没啥区别。

举个我自己的小例子。之前我们团队为了提升一个功能的用户留存率，设计了两个新版界面（方案甲和方案乙），加上原始界面（方案丙），想看看哪个最好。我们把用户随机分成三组，分别使用这三个方案。一周后，我们收集了三组用户的留存率数据。

肉眼看，方案甲的平均留存率最高，比丙高了2个百分点。但老板问我，这2个百分点的提升，是实实在在的改进，还是仅仅是这次实验里的“抽样误差”？我能拍着胸脯说，只要上线方案甲，大盘留存率就一定会提升吗？

这时候，方差分析就派上了用场。我把三组数据丢进统计软件里跑了一下ANOVA，结果显示，组间的差异并不“显著”大于组内的差异。这意味着，我们没有足够的统计学证据来断定方案甲就一定比其他方案好。那2个百分点的优势，很有可能只是运气。基于这个结论，我们没有贸然全量上线方案甲，而是决定继续迭代，寻找更能带来本质提升的设计。

这就是数学的力量。它让我们在做决策时，不再仅仅依赖“看上去好像是这样”，而是有了一套严谨的逻辑和工具，来判断我们的观察到底有多可靠，让我们从“拍脑袋”进化到“用数据说话”。

今天我们聊的，只是数据分析数学家底里最基础、最常用的一部分。从描述一堆数字的轮廓，到探寻数字之间的关系和差异。这些概念和方法，就像是数据分析师的“望远镜”和“显微镜”，帮助我们透过纷繁复杂的数据表象，看到背后隐藏的结构和规律。

它们可能没有人工智能、深度学习这些词汇听起来那么时髦，但它们是所有高阶分析的基石。地基不牢，大厦何存？

希望今天聊的，能让你对数据分析背后的数学，少一分畏惧，多一分亲近。记住，数学不是用来为难我们的，而是我们手中的利器，帮助我们更清晰、更深刻地理解这个充满数据的世界。

来源：正正杂说