摘要：平面内到两个定点的距离之比为定值（不为1）的点的轨迹是一个圆，这个圆最早由阿波罗尼斯提出，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆。

平面内到两个定点的距离之比为定值（不为1）的点的轨迹是一个圆，这个圆最早由阿波罗尼斯提出，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆。

可以用角平分线定理和隐圆来证明。

如图，延长AP至点E，作PC平分∠APB，交AB于点C，作PD平分∠BPE，交AB延长线于点D

由角平分线定理，得 PA/PB=CA/CB=DA/DB=k

∵A、B为定点 ∴C、D为定点，CD长为定长

∵PC平分∠APB，PD平分∠BPE

∴∠BPC=1/2∠APB，∠BPD=1/2∠BPE

∴∠CPD=∠BPC+∠BPD=1/2∠APE=90°

∴点P的轨迹是以CD为直径的圆.

当k＞1时，阿氏圆圆心在AB延长线上；

当k＜1时，阿氏圆圆心在BA延长线上；

当k=1时，动点轨迹为AB的垂直平分线。

阿氏圆中有一组重要的子母型相似三角形△OAP∽△OPB，进而得到

OA/OP=OP/OB=AP/PB，OP^2=OA·OB

证明：∵OC=OP ∴∠4=∠2+∠3

又∵∠4=∠1+∠A，∠1=∠2

∴∠A=∠3 又∵∠AOP=∠POB

∴△OAP∽△OPB

在习题中，通常已知OP和OA，构造OB或已知OP和OB，构造OA，利用OA和OB的倍数关系用OA表示OB或用OB表示OA，常用于解决PQ±kPA或PQ±kPB的最值问题。

下面通过几个例题来具体学习：

例1、在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OB=4，OA=6，圆O的半径为2. 点P是圆O上一动点，连接AP，BP.

（1）求AP+1/2BP的最小值

（2）求AP-1/2BP的最大值

分析：已知OP和OB，需构造PC=1/2PB，由OP^2=OB·OC，可确定OC=1，AP+1/2BP就转化为AP+PC，AP-1/2BP转化为AP-PC，当A、P、C三点共线时取得最值.

解答：连接OP，在OB上取点C，使OC=1，连接PC、AC

∵OC/OP=OP/OB=1/2，∠COP=∠POB

∴△OCP∽△OPB ∴PC/PB=OC/OP=1/2 ∴PC=1/2PB

∴PA+1/2BP=PA+PC≥AC=√37

PA-1/2BP=PA-PC≤AC=√37

例2、如图，圆O的半径为2，点A，B在圆O上，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB上，且OD=1，点P是圆O上一点.

（1）求2PC+PD的最小值

（2）求2PC-PD的最大值

分析：已知OP和PC，需构造PE=2PC，由OP^2=OC·OE，可得OE=4，2PC+PD可转化为PE+PD，2PC-PD可转化为PE-PD，当P、D、E三点共线时取得最值.

解答：连接OP，在OA延长线上取点E，使OE=4，连接PE、DE

∵OC/OP=OP/OE=1/2，∠COP=∠POE

∴△OCP∽△OPE ∴PC/PE=OC/OP=1/2 ∴PE=2PC

∴2PC+PD=PE+PD≥DE=√17

2PC-PD=PE-PD≤DE=√17

1、题型特点：

（1）一个圆一个直角，圆外直角边上两个定点（例1），求PA±kPB的最值（k＜1）

（2）一个圆一个直角，圆内直角边上两个定点（例2），求kPA±PB的最值（k＞1）

2、例题变式

（1）例1变式：求2AP+BP的最小值

（2）例2变式：求PC+1/2PD的最小值

3、已知外定点，构造内定点（k＜1）；已知内定点，构造外定点（k＞1）. 有时需要提系数，如2中变式（1）需要提系数2，（2）需要提系数1/2

4、阿氏圆（阿波罗尼斯圆）可看作圆的第二定义，由两定一动，比值一定（≠1）可想到阿氏圆，由含动点的子母相似也能想到阿氏圆，此外还有切割圆。

如图，PA/PB=k（k＞1），圆O为阿氏圆，圆F为切割圆。

来源：若叶小学堂