摘要：当我们谈论电磁场与电磁波时，很多人会感到头疼——复杂的公式、抽象的概念让人望而却步。但理解电磁世界并没有那么困难，关键在于找到正确的学习路径。
数学是描述物理规律最简洁的工具，而电磁学正是这一思想的完美体现。
当我们谈论电磁场与电磁波时，很多人会感到头疼——复杂的公式、抽象的概念让人望而却步。但理解电磁世界并没有那么困难，关键在于找到正确的学习路径。
学习电磁场与电磁波，应该从整体到局部：先掌握麦克斯韦方程组的物理意义，再深入各个方程及相关物理量。麦克斯韦方程组是电磁场的基础和核心，清楚理解它之后，其他相关知识和应用就相对容易掌握了。
01 麦克斯韦方程组：电磁世界的宪法
麦克斯韦方程组仅用四个公式就概括了电磁场的全部规律：
\nabla \times \vec{H} = \vec{J} + \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}（电场高斯定律）
以及本构关系： \vec{D} = \varepsilon \vec{E} , \vec{B} = \mu \vec{H}
这四个方程分别由法拉第电磁感应定律、修正法拉第定律和两个高斯定律构成，概括了电学和磁学的基本规律。从物理本质上讲，麦克斯韦方程组揭示了电场和磁场的源及其相互关系。
矢量场有散度和旋度两种源。散度描述的是场从某点发散或汇聚的程度，对应的场随距离的二次方衰减；旋度描述的是场围绕某点旋转的程度，对应的场随距离的一次方衰减。
随着距离增加，散度对应的场（随r²衰减）逐渐可以忽略，剩下的是旋度对应的衰减较慢的场（随r一次方衰减），这就是辐射场——能够传播很远的电磁波。
02 电磁场中的四个物理量：D、E、H、B的关系
为什么描述电磁场需要四个物理量？因为它们从不同角度描述场的特性：
电场强度E：观测点实际电场大小（与介质有关）电位移D：描述电荷本身特性（与介质无关）磁感应强度B：观测点实际磁场大小（与介质有关）磁场强度H：描述电流本身特性（与介质无关）以手机SAR（比吸收率）测试为例，很多人疑惑为什么SAR热点不在电场最强的区域。这是因为模拟人体组织的液体介电常数很高（约40），导致电场E变小；而液体磁导率为1，磁场H不会变小，因此SAR热点实际上对应磁场强的区域。
03 从静态到场到电磁波：数学处理的统一框架
电磁场问题的数学处理有统一的思路。无论是静电场、静磁场还是电磁波，都可以通过振子方程这一基本数学工具来解决。
振子方程的标准形式为：
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+\omega_{0}^{2}y=0以传输线为例，电报方程可以化简为波动方程，进而通过变量分离转化为振子方程形式。对于无耗传输线，电压和电流满足的方程正是波动方程：
\frac{\partial^{2}v}{\partial z^{2}}=LC\cdot\frac{\partial^{2}v}{\partial t^{2}}通过假设信号是正弦的，可以将其转化为振子方程形式求解。对于有耗传输线，处理思路类似，只是传播常数变为复数，解的形式中多了一个随距离衰减的因子。
对于无源静场，根据电场旋度为零的特点，可以定义电势（标量）来简化计算，最终得到拉普拉斯方程，通过分离变量法又可以得到振子方程形式。
对于无源电磁场（如自由空间的辐射场），从麦克斯韦方程组出发可以推导出波动方程，进而得到亥姆霍兹方程——这又是振子方程的形式。
04 有源电磁场：从点源到任意源
有源电磁场问题更为复杂，但处理思路依然清晰。通过引入磁矢位A和电势φ，可以将电场和磁场用这些辅助量表示，从而简化计算。
对于时谐场的情况，关于磁矢位和电势的方程都变为非齐次的亥姆霍兹方程。关键思路是：先求解点源产生的场（格林函数），然后通过叠加原理得到任意源的场。
点源的场可以通过狄拉克δ函数和球坐标来求解。在球坐标下，三维问题转化为只与半径r有关的一维问题，再次得到振子方程的形式。求解得到的格林函数为：
g(r,r')=\frac{e^{-jk|r-r'|}}{4\pi|r-r'|}任意源的场就可以通过格林函数在源区域积分而得到。这一方法可以用于计算偶极子天线等辐射问题。
05 偶极子辐射：理论与应用的桥梁
以偶极子辐射为例，将偶极子置于坐标原点，在尺寸远小于波长的假设下，可以逐步推导出辐射场的表达式。
通过计算磁矢位，然后求旋度得到磁场，再通过麦克斯韦方程组得到电场，最终得到偶极子的辐射场表达式：
H_{\phi} = j\frac{kI_0l\sin\theta}{4\pi r}\left[1+\frac{1}{j kr}\right] e^{-jkr} E_r = \eta\frac{I_0l\cos\theta}{2\pi r^2}\left[1+\frac{1}{j kr}\right] e^{-jkr} E_{\theta} = j\eta\frac{kI_0l\sin\theta}{4\pi r}\left[1+\frac{1}{j kr}-\frac{1}{(kr)^2}\right] e^{-jkr}这些公式描述了偶极子辐射场的空间分布特性，是天线设计和电磁兼容分析的基础。
从手机通信到卫星导航，从医疗成像到雷达探测，电磁理论的应用无处不在。麦克斯韦方程组统一了电学、磁学和光学，预言了电磁波的存在，奠定了现代通信技术的理论基础。
电磁场理论作为物理学、材料科学、光学、微波技术和天线设计等学科的基础，其重要性不言而喻。掌握从物理概念到数学处理的全貌，我们就能真正理解并灵活应用这一强大而优美的理论。
来源：中华科学之家一点号
