摘要：这是一道六年级数学竞赛填空题：边长未知，如何求两个正方形面积之和？都是考虑特殊情形，为何有的孩子求出得是4、有的孩子求出得是3.2！

这是一道六年级数学竞赛填空题：边长未知，如何求两个正方形面积之和？都是考虑特殊情形，为何有的孩子求出得是4、有的孩子求出得是3.2！

如图，

半圆的半径为2，其内有两个正方形ABCD和BEFG，求这两个正方形面积和。

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提示：仅适合填空题！

作为填空题，两个正方形边长均未定，却要求其面积之和，则可猜想两个正方形的面积和必定为常值、与两个正方形的大小无关，从而可通过考虑特殊情形来求解！

有的孩子考虑情形①正方形ABCD与BEFG大小相同，即点CE重合。求得两个正方形面积和为4

此时AB=BG，且点B为圆心，正方形的对角线长恰好等于半圆的半径2，故单个正方形面积为2×2÷2=2，两个正方形面积和为4。

有的孩子考虑情形②正方形ABCD退化为点B，即正方形BEFG的顶点E也在圆周上。求得两个正方形面积和为3.2

此时，BG的中点即为圆心，记圆心为O，则OF=2，FG=2OG，用4个与△OFG相同的三角形拼成1个以OF为边的正方形，中间空白部分恰为1个小正方形、其边长等于FG-OG=OG，其面积等于S△OFG。

因此S△OFG=2×2÷5=0.8，S正方形BEFG=4S△OFG=3.2。

以上两种特殊情形解法，所得到的答案却不同，到底哪一答案才正确？

解答如下：

①补齐圆，延长FG与圆周相交于点F'，延长DA与圆周相交于点D'，延长FE与圆周相交于点N，延长DC与圆周相交于点M。

②圆心为在线段BG上，记其为O，记OB=x，AB=a，BG=b，则由对称性可得DM=2(a+x)，FN=2(b-x)，DD'=2a，FF'=2b。

③连接F'N，则FF'N为直角三角形，且F'N=4，从而F'N²=FN²+FF'²，即4=b²+(b-x)²。

④连接D'M，则DD'M为直角三角形，且D'M=4，从而D'M²=DM²+DD'²，即4=a²+(a+x)²。

⑤b²+(b-x)²=a²+(a+x)²，化简可得

2b²-2bx=2a²+2ax，也即x=b-a。

⑥将x=b-a代入4=a²+(a+x)²，可得a²+b²=4。

来源：琼等闲