郭柏灵等：波湍流理论中的新发展——可积湍流

摘要：湍流是出现在非线性科学不同分支领域的常见的动力学行为之一。通常来说，湍流的运动是不规则的紊流，容易受到外部扰动的影响，是一种不稳定的流动状态，难以通过简单的数学方程描述。而基于相互作用波的多重性的波湍流理论提供了对完全发展的湍流的部分非线性描述。这是现代理论

湍流是出现在非线性科学不同分支领域的常见的动力学行为之一。通常来说，湍流的运动是不规则的紊流，容易受到外部扰动的影响，是一种不稳定的流动状态，难以通过简单的数学方程描述。而基于相互作用波的多重性的波湍流理论提供了对完全发展的湍流的部分非线性描述。这是现代理论物理学中一个具有挑战性的问题。波湍流理论处理的是不可积系统中非平衡统计的非相干、弱非线性色散波。波湍流理论的早期和最重要的成果之一是由Zakharov 给出的Kolmogorov 谱的模拟。这些谱被称为Kolmogorov-Zakharov 谱，它们是多维不可积系统中随机弱非线性色散波的傅里叶谱演化动力学方程的解。波湍流理论已被应用于很多方面，包括非线性光学、海洋学、等离子体物理和凝聚态物理。

最近，湍流理论中出现了一个新的主题，与由一维可积系统（例如Kortewegde Vries（KdV）和一维非线性薛定谔方程描述的）强非线性随机波的动力学有关。在非线性保守系统中描述这种随机波运动的行为称为“可积湍流”。

在可积系统中，我们可以通过反散射方法研究非线性波系统中需要统计描述的复杂行为。这种理论在波湍流理论中开辟了新篇章——可积湍流。在非线性薛定谔方程的框架下，数值研究了平面波解的调制不稳定性的非线性阶段。调制不稳定的发展导致了“可积湍流”的形成。

对可积湍流的兴趣源于许多自然或实验观察到的非线性波现象的复杂性，即使一些基本的物理模型可以通过相对成熟的可积系统理论的方法来分析，如反散射方法或有限带解理论，但是这些现象通常需要根据统计学来描述。事实上，可积湍流理论特别适用于描述调制不稳定系统，这些系统在随机噪声的作用下可能表现出高度复杂的非线性行为，可以用湍流理论的概念来充分描述，如概率分布函数、集合平均、功率谱等。

局部非线性孤立波是非线性色散波传播的普遍特征，其发现可以追溯到1834年Russell 对浅水波的观察。如果波动力学由完全可积方程描述，孤立波将表现出类似粒子的特性，例如弹性的、成对的相互作用，伴随着一定的相位/位置偏移。这样的孤立波被称为孤子。孤子可以形成有序的宏观相干结构，如调制的孤子列和色散激波。此外，孤子还可以形成不规则的、统计的集合，可以解释为孤子气体。在这种气体中的非线性波场代表了可积湍流的一个特殊情况，通常被称为孤子湍流。总体而言，孤子气体和孤子湍流代表同一物理对象的两个互补方面，是单个孤子波粒二象性的自然对应物。在孤子气体描述中，重点放在孤子的集体动力学上，将其视为相互作用的（准）粒子，具有特定的振幅（或速度）分布函数，而孤子湍流则强调了与孤子气体相关的随机非线性波场的特性，如概率密度函数、功率谱等。

可积湍流

郭柏灵张晓恩闫振亚凌黎明编著

北京: 科学出版社, 2025. 9

（非线性发展方程动力系统丛书）

ISBN 978-7-03-082726-5

《可积湍流》主要从可积湍流定义及其统计特性。本原势、孤子气体、波湍流、物理信息神经网络以及可积模型等方面进行介绍。

第1 章概述可积湍流，重点阐述平面波与椭圆余弦波背景下可积湍流的产生机制。
第2 章系统介绍KdV 方程本原解相关的核心方法，包括黎曼-希尔伯特方法、Dbar 方法（∂-问题方法）和代数几何方法。
第3 章介绍孤子气体的动力学方程、双向色散流体动力学中的孤子气体、孤子气体与呼吸子气体的谱理论，以及孤子气体的特殊形式——N 孤子极限。
第4 章介绍一维波湍流的基本方程与数值结果。

第5 章则阐述物理信息神经网络在可积方程中的应用。

求解耦合非线性薛定谔方程的

物理信息神经网络的典型架构

本书的部分结果得到国家自然科学基金（NSFC12471236，12471237，12471242）、广东省自然科学基金（2025A1515011868）、广州市科技计划（2024A04J6245）、山东省高等学校青创团队计划（2023KJ090）的支持。

本书旨在为从事可积湍流与孤立子气体研究的学者及研究生提供一套系统性的参考资料。鉴于该领域的研究目前仍处于初期阶段，书中在撰写与理解层面难免存在疏漏或偏颇，恳请各位读者不吝指正。

郭柏灵

北京应用物理与计算数学研究所

张晓恩

山东科技大学

闫振亚

中原工学院/中国科学院数学与系统科学研究院

凌黎明

华南理工大学

2025 年8 月

本文摘编自《可积湍流》（郭柏灵等编著. 北京 : 科学出版社，2025. 9）一书“前言”“第1章可积湍流定义及其统计特性”，标题为编者所加。

（非线性发展方程动力系统丛书）

ISBN 978-7-03-082726-5

责任编辑：李欣李萍

本书主要探讨可积湍流、孤立子气体等可积系统的最新进展。内容涵盖可积湍流的概念、不同背景下可积湍流的统计描述，孤立子气体的黎曼-希尔伯特渐近分析方法、湍流和孤子气体的谱理论，以及物理信息神经网络在孤子方程求解中的应用等内容。当前，该领域多数理论仍处于发展阶段，具体研究方法与方向尚未完全明确。为此，本书重点研究: 可积非线性薛定谔方程的平面波背景和椭圆余弦波背景生成的可积湍流、孤立子气体的动力学方程和谱理论、KdV 方程的本原势和孤立子气体的黎曼-希尔伯特问题分析方法。期望通过这些初期研究成果，为其他可积模型中可积湍流与孤立子气体问题的研究提供参考与助力。

本书适合高校数学、物理专业的研究生、教师，以及相关领域科研工作者参考阅读。