摘要：微分：把研究的对象分解成非常非常微小的单元去研究；（注意，每个微小单元要具备全局性质，“全息”）

学习知识的层次是：接触 → 理解 → 内化 → 应用 → 掌握。

人与人之间的区别主要产生在——“内化”环节。

微分：把研究的对象分解成非常非常微小的单元去研究；（注意，每个微小单元要具备全局性质，“全息”）

积分：把刚才研究完的非常微小的单元，再积累在一起得到结果。

类似于“分析”与“综合”的关系。

和我们常说的计算器——calculator 非常像，其实，它的原意就是“计算方法”的意思。

所以，最初，完整的微积分英文要这么说：

“连续”是研究微积分的重要前提。

在经典的物理世界中，一切都是连续的。

这里，我们假装不知道“量子世界”，只研究“连续函数”（Continuous function）——

无论怎么放大，仍然是一段连续的线

连续函数一般表示为：f(x)∈C

“无穷”是微积分的核心概念。

“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”

—— 《庄子 · 天下》

右边的式子，“无限趋近”于 1。这是一个“动态过程”。

无穷小，是一个“变量”，是一个无限趋近于0的一个“过程”。

所谓“高阶无穷小”，无非就是它“趋近于0的‘速度’更快”呗。（此处有深意，与后面的洛必达法则有联系）

例1 在一个无穷小的范围里，所有曲线都是直线：

例2 割圆术

“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。”

—— 刘徽 《九章算术注》（263年）

这个过程的“终点”永远达不到，但是无比趋近的那个值，就是“极限值”。

比如，lim(x→x0) f(x) 表示 变量 x 向 x0 点无限逼近，f(x) 无限趋近的那个值，就是极限值。

上文讲的无穷小本身是一个”过程”，这个过程的极限，就是0。

∞/A=∞

“吾生也有涯，而知也无涯。以有涯随无涯，殆已！”

——《庄子 · 养生主》

知识是无穷的，而生命却只有那么几天，所以算下来，想要学完所有知识，每天必须也学无穷多的知识，那还得了！

指两种情况：0/0 和 ∞/∞

上文说，极限是一个过程，那么极限之间的比较，其实是在比较谁的速度快，这就是“洛必达法则”（求导后再比）。

或 使用因式分解/化简——

或 替换变量或使用等价无穷小。

如果不是趋近于 x0，而是趋近于无穷，就使用 inf 代表无穷，代替x0。

如果极限不存在，MATLAB会吐出一个“NaN”字。

limit 函数也能使用符号，比如——

“善战者，因其势而利导之。”

——《史记·孙子吴起列传》

“导”就是“方向”，导数就是表示函数“运行的方向”。

“导数”是函数的原因（变化的来源），函数是“导数”的结果。

速度是位移的导数，速度导致了位移；加速度是速度的导数，加速度导致了速度。

用【导数思维】来分析问题，可以找到事物变化的原因，控制事物的发展。

“物有本末，事有终始，知所先后，则近道矣。“

——《大学》

(uv)′ = u′v + uv′

我们把 u、v 看成是一个矩形的边长，则 (uv)’ 就是指边长 u 和 v 同时变化，所引起的面积变化量。

矩形的面积变化量还有角落里的一小块，但是太小了，小到直接舍去。

微分就是差分的【无穷小过程】，自变量 x 的微分为：

dx = Δx|Δx→0

这时，因变量 y 的微分为：

dy = f′(x)⋅dx

可以说，dy 是 Δy 的“线性主部”。

注意哈~ 不要觉得这里面有一个“误差”，这是“静态视角”下看到的，而微分是一个动态的无穷小过程，是完全没有误差的。

观察后，发现有几个特点：

比如正弦函数在 0 处分解——

（偶数项的导数均为0，因此不在公式中）

只要项数 n 有限，就一定有误差，误差项为：

先只展开前2项，解释为：x 处的函数值，约等于 x0 处的函数值，再加上由导数引起的变化量。

这是对未来情况的仿真。

几何表达：

由于原因（导数）只是“当前”的原因，所以仿真预测的结果肯定不完全准确；不过，只要时间足够短，仿真就足够准确。

二阶导数呢？就是原因的原因，即“间接原因”：

结果 ≈ 现状 + 直接原因引发的变化 + 原因的原因引发的变化+…

“夫未战而庙算胜者，得算多也，未战而庙算不胜者，得算少也。多算胜，少算不胜，而况于无算乎!”

公式直接展现了分析问题的步骤：

现状f (x0) → 主因f ‘(x0) → 次因f “(x0)

预测的第一要务是要分清“本末”，现状为本，变化为末；引起变化的原因很多，也要先分“主次”。

“求之其本，经旬必得；求之其末，劳而无功。”

——《吕氏春秋》

函数 F (x) 的导函数为 F ‘(x) = f (x)，则：

f (x) 是 F (x) 的导函数；

注意哈，F (x) + C(常数) 的导数也是f(x)，所以

f (x) 有一族原函数—— F(x) + C

表示为：

计算的话，有“换元积分法”和“分部积分法”等方法，MATLAB只需一句话：

一个导函数对应一簇原函数，这是因为，现状(C)不同。

这种关系类似于“投影”。

下面是一点个人理解：

低维世界的原函数 是 高维世界的导函数 的投影。

原因在高维，结果在低维。

比如，小车的速度 v，相对于位移 s 是一个高维世界的信息，因为它：

提示我们建立【升维思维】，可以解决许多实际问题。

如何求一个曲线 f(x) 包围的面积？

分割无限小，再加起来，就是“定积分”。定积分求的是“曲线下面积”。

从定积分的基本定理就可见端倪：

定积分，是在计算“影响”：

定积分 是“原因” f(x) 经过一段过程（从a到b）所造成的结果改变(影响)。

如果是无穷积分呢？

即a或b中至少一个是无穷量的积分，书本上称为广义积分或反常积分。

那就直接把a或b换成 inf，就OK。

正弦波函数与余弦波函数，统一称为：谐波函数。

明明就是同一个函数，只不过“相位”不同而已。

谐，和也。

——《尔雅》

世界由波组成：声波、光波、电磁波、地震波、应力波、引力波 …

而谐波是所有波中，最“和谐”的，它有一个重大的特性：

谐波的导函数还是谐波，谐波的原函数还是谐波！

比如，sin'(x) = cos(x) = sin(x+pi/2)，意思是，正弦的导函数还是正弦，只不过导函数要早了 π/2（1/4个周期）。

中国人在基因里已经刻入了对于谐波的理解，《易 · 乾》：

人在逆境中为什么能坚持住？就是因为他看到了命运的周期。

物极必反，否极泰来，反者道之动。

祸兮 福之所倚 福兮 祸之所伏

——《道德经》

“波”的本质即是“周期函数”，周期的倒数即为频率，任意一种波，是否能分解成不同频率的谐波的叠加呢？

比如，方波：

叠加项越多，越接近原始方波。

其实，这跟泰勒展开是一致的，越到后面的项，起作用就越小。

最右边那一列叫作：频谱

把时域的信息，变成频域信息了。图中表示了每一谐波项的频率（横轴）和幅值（纵轴）。

傅里叶展开，是通过不同频率谐波叠加的方式，对任意周期函数进行仿真的系统。

例1 比如一台机器，发生了不好的振动，那就把振动信号傅里叶分解出来，找到出问题的频率，然后再查哪个振动源是这个频率呀，就找到问题所在了。

例2 有限元可以计算零件的各阶模态的频率振型。

例3 一个低频信号，掺入了一些高频的噪音，那么可以采用傅里叶分解的方法，分解后直接将高频的部分舍去，这就叫低通滤波。

在MATLAB中，没有傅里叶展开的直接函数，但是我们可以依照公式写一个出来:

两者都是仿真系统，都是项数越多，误差越小，但是也有区别：

泰勒分析运动的因果：着眼于从一点 x0 展开，离该点越远误差越大，用多项式揭示运动的量化规律；

傅里叶分析频率的构成：着眼于全局周期性，从频域的角度找到原函数的高维特征。

微分方程（Differential equation，DE）表示的是原函数(果)与导函数(因)之间的关系。

比如，y ' = 1，就是最简单的微分方程了。是一阶微分方程（最高阶导数的阶数）。

解是：y = x + C

如果再加一个条件（初始条件）：y(0) = 0

大致上可以这么说，一个学科是不是科学，就是看有没有微分方程。

因为，研究一个量的导数的规律，才有可能从根本上理解这个量的规律。

微分方程，展示的就是原函数(果)与导函数(因)之间的关系。

“君子生非异也，善假于物也”

——《劝学》

MATLAB求解微分方程，一般用 dsolve 函数就能搞定。

例1：

例2：

其实，许多微分方程根本求不出解析解，只能求出数值解。

啥叫数值解？

就是说，虽然求不出函数的表达式，但是我能知道函数在各处的值，这个值不是绝对准确，但是在一定的精度范围内。

MATLAB中最常用的解常微分方程(ODE)的函数为 ode45（四阶五级变步长算法）——

例，解方程：y ' = 2t

没有表达式，只有由点组成的“数值解”。

如果非得写成表达式的形式，也好办，拟合回去呗。

大名鼎鼎的“有限元法”（FEM，Finite Element Method），其实只是一种求解微分方程的数值解法。

所谓“仿真”，就是对模型的计算。FEM的元模型，就是微分方程，也就是事物之间的因果关系。

泰勒展开：多项式仿真系统，提醒我们本末/主次之分。

傅里叶展开：频域下的谐波仿真系统，提醒我们在频域中寻找本质特征。

微分方程就是因果关系，是现代科学的基础核心，也造就了有限元法。

“你最好学学微积分，它是上帝的语言。”

—— 费曼

另外，更细致的讲解参见——

来源：科技千里眼