摘要：你有没有想过：100℃ 的水和 0℃ 的水混合，最高能把冷水加热到多少度？其实关键在加热方式——把热水和冷水分成多份，逐份热交换，分的份数越多，冷水能吸收的热量越多。知乎新知答主@酱紫君就用分份实验和数学推导，拆解了这背后的热量传递奥秘

你有没有想过：100℃ 的水和 0℃ 的水混合，最高能把冷水加热到多少度？其实关键在加热方式——把热水和冷水分成多份，逐份热交换，分的份数越多，冷水能吸收的热量越多。知乎新知答主 @酱紫君 就用分份实验和数学推导，拆解了这背后的热量传递奥秘

一杯 100 度的水可以把一杯 0 度的水最多加热到多少度？63.21 度是极限了吗？

答主：酱紫君

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确实可以达到 100℃！直接热水放到冷水里最后冷水只有 50℃。

我们可以这样做，把 100℃ 热水分成两杯红水，0℃ 冷水都分成两杯蓝水：

首先拿起红水 A 和蓝水 A 热交换， 红水 A 50℃，蓝水 A 50℃；

接着拿起红水 A 和蓝水 B 热交换，红水 A 25℃，蓝水 B 25℃；

同理拿起红水 B 和蓝水 A 热交换，红水 B 75℃，蓝水 A 75℃；

最后拿起红水 B 和蓝水 B 热交换，红水 B 50℃，蓝水 B 50℃；

最后红水 AB 合并变成 37.5℃。蓝水AB合并变成 62.5℃。

注意这两杯水是有染色的， 是真正的交换了热量，并非交换了水的位置 。

合法的方案必须将蓝水里所有的分子都加热才行，一个分子也不能少。

分成两份居然夺走了 62.5% 的热量，比直接混合的 50℃ 强得多。

如果分成 10 份经过同样的操作能达到 82.38℃，分成 100 份会达到 94.36℃，分成 10000 份会达到 99.44℃。

太神奇了！

看来是切的越多，逐份加热再混合以后掠夺的热量越多。

考虑如下递推方程：

我这里只是为了满足你的好奇心，虽然一通爆算展开超几何函数肯定 可以，但其实有更巧妙的解法。

你要证明的是：

主要难点在内部这个二项式展开怎么求。

但其实不用求，因为可以直接用正态分布近似 。

不妨考虑二项式分布的累积分布函数。

将这个结果代入原式，得到：

该二项分布的正态分布近似为：

呃，所以数学上是成立的……

那么物理意义是啥呢?

就是 热分子按顺序撞击了所有冷分子，把自己的能量全给了冷分子 ……

约等于热水和冷水对撞，自己内部分子一个都没撞到， 热水分子全部捉对撞到了冷水分子 ……

这是什么麦克斯韦家族的 新神兽吗？

来源：趣闻捕手一点号