摘要：通过两点间直线距离最短以及函数的导数，介绍求解根式和y=√(x²+4)+√[(x-61)²+100]最小值的步骤。

求y=√(x²+4)+√[(x-61)²+100]的最小值和取得最小值时的x值。

通过两点间直线距离最短以及函数的导数，介绍求解根式和y=√(x²+4)+√[(x-61)²+100]最小值的步骤。

1.两点间距离公式|AB|=√[(a1-b1)²+(a2-b2)²];

2.幂函数导数公式：y=x^(1/2),则dy/dx=(1/2)x^(-1/2)。

根据题意，设A(0,2)，B(61,10),C(x,0),

则A,C两点的距离为：

|AC|=√[(0-x)²+(2-0)²=√(x²+4);

同理，B,C两点的距离为：

|BC|=√[(61-x)²+(10-0)²]，

=√[(x-61)²+100]。

即此时:y=|AC|+|BC|。

如上图所示，设A点关于x轴的对称点为A1，

则其坐标为：A1(0,-2)。

直线BA1的斜率k为：

k=(10+2)/61,

直线BC的斜率也等于k，则:

k=(10-0)/(61-x),

根据斜率相等，解得x=61/6，

此时y的最小值就是线段BA1的长度，则：

ymin=|BA1|=√[(61-0)²+(10+2)²]

=√3865。

y=√(x²+4)+√[(x-61)²+100]

利用幂函数求导公式，函数对x求导得：

dy/dx=x/√(x²+4)+(x-61)/√[(x-61)²+100]，

令dy/dx=0,则：

x*√[(x-61)²+100]=(61-x)√(x²+4),

方程两边平方得：

x²[(x-61)²+100]=(61-x)(x²+4),

化简方程得到：

因式分解方程得：

(8x+122)(12x-122)=0,

取x在(0,61)之间的解，则：

x0=61/6，

此时y的最小值为：

ymin=√(x0²+4)+√[(x0-61)²+100]

=√3865。

来源：佳佳课堂