摘要：“对数”在物理中从来不只是“反指数”这么简单；它像一把把标尺，把跨越十几个数量级的世界压成一张人能直观把握的图。

“对数”在物理中从来不只是“反指数”这么简单；它像一把把标尺，把跨越十几个数量级的世界压成一张人能直观把握的图。

1. 熵 S = k ln Ω

在量什么：系统“看不见”的微观态个数 Ω。

非用对数不可的理由：

乘法组合 → 加法熵：

两个独立系统微观态数相乘，总熵却必须可加，只有 ln 能把“乘”变“加”。

信息粒度：

ln Ω 直接对应“缺几位二进制才能指定一个微观态”，把“无序”量化成比特。

直觉：

熵是“找不到系统在哪”所需的最少 yes/no 问题数；温度就是“每增加一个比特，系统愿意交出的能量”。

2. 能级分布 ln(E) 出现处

玻尔兹曼分布 ∝ e^(–E/kT)、费米–狄拉克、普朗克谱……指数里藏着能量。

物理意义：

对数把“能量差”转成“概率比”。

两能级粒子数比：

ln(n₁/n₂)=–(E₁–E₂)/kT → 温度成为“能量标度的自然单位”。

化学反应 ln K = –ΔG⁰/RT：

把“自由能差”直接译成“平衡常数的几倍”。

3. 相变与临界：ln r 对抗幂律

关联函数

为什么看 ln r：

幂律在 lin–lin 图里是曲线，在 log–log 里才是直线；斜率 = –η，一眼读临界指数。

重整化群流方程 dK/dl = β(K) 里 l = ln r，把“尺度乘”变成“参数流”的“时间”，空间缩放成了动力学。

4. 动态范围：分贝、星等、里氏震级

共同点：人感官/仪器对“强度”是比例敏感，不是差值敏感。

声压幅值 10^(L/20) → L = 20 log₁₀(p/p₀)；1 dB 约 12% 幅值变化，人耳刚好可辨。

视星等 m = –2.5 log₁₀(F/F₀)；5 等差 = 100 倍流量，两千年前的眼睛就已“标定”。

震级 M = log₁₀(A/A₀) + 校正；能量 ∝ 10^(1.5M)，一级差 32 倍能量，把地球 9 级地震和 2 级地震压到 0–9 的尺子上。

5. 时间／空间的“对数坐标”

宇宙膨胀 a(t)：

log a–log t 图把辐射、物质、Λ 主导期切成三段直线，一眼读宇宙成分。

粒子探测器：

半导体击 Cluster 尺寸 vs 入射能对数坐标，一条直线告诉你“电离–收集”是不是线性。

生物神经：

韦伯–费希纳定律 S = k ln I，解释“为什么声音响度翻倍要 10 dB，不是 2 倍声压”。

6. 信息论与熵产生

香农熵

衡量“实验前平均需要多少个 yes/no 才能确定结果”。

非平衡态：

熵产生率 dS/dt = J·X，力 X 常取 ln(浓度比)、ln(T₁/T₂)，把“梯度”写成“对数差”后，流 J 与力成线性（昂萨格关系成立区）。

当对数取自然对数 ln 时，单位是纳特（nats）；换成 log₂ 就是比特（bits）

7. 数学根源：李群 vs 加法

任何“乘法对称”(标度、洛伦兹 boost、旋转组合) 在李群层面都转成形如 ln(R) 的代数元；物理可观测量用对数映射到线性空间，才能叠减、求导、做微扰。

关键词记忆

把“对数”想成“比例翻译器”：

乘法 → 加法

幂律 → 直线

指数 → 斜率

数量级 → 等距

只要实验曲线横或纵跨了 10² 以上，先取 log——这不是数学偷懒，而是自然界本来就用“比例”说话。

来源：第二纽扣