摘要：2025-09-16：零数组变换Ⅳ。用go语言，给定一个长度为 n 的整数数组 nums 和若干查询 queries，其中每个查询用三元组 [li, ri, vali] 表示一次操作规则：
2025-09-16：零数组变换Ⅳ。用go语言，给定一个长度为 n 的整数数组 nums 和若干查询 queries，其中每个查询用三元组 [li, ri, vali] 表示一次操作规则：
• 对于该查询，你可以在下标区间 [li, ri] 里任选一些位置（也可以不选），把这些位置上的元素各自减去相同的数值 vali。
目标是按查询给出的顺序依次执行前 k 次操作（对于每次操作可以自由选择区间内的下标集合），使得最终数组中所有元素都变为 0。要求找出满足这一条件的最小非负整数 k；如果不存在任何 k 能达到这个目标，返回 -1。
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queries[i] = [li, ri, vali]。
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输入： nums = [1,2,3,2,6], queries = [[0,1,1],[0,2,1],[1,4,2],[4,4,4],[3,4,1],[4,4,5]]。
输出： 4。
给定一个整数数组 nums 和一系列查询 queries，每个查询是一个三元组 [li, ri, vali]，表示可以在下标区间 [li, ri] 内任意选择一些位置（可以不选），将这些位置上的元素减去 vali。目标是按顺序执行前 k 次操作（每次操作可以自由选择区间内的下标集合），使得最终数组所有元素变为0。要求找出最小的非负整数 k（即使用前 k 个查询），如果无法实现则返回-1。
1. 问题分析：每个查询操作相当于提供了一种“资源”（即可以减去某个值 vali），但该资源只能应用于特定区间内的元素。对于每个非零元素 nums[i]，我们需要通过一系列操作（即选择一些查询）来恰好减去 nums[i]。注意，每次操作（查询）可以自由选择区间内的下标，因此同一个操作可以被多个元素使用（但每次使用只能减去固定的 vali），但每个元素需要减去多个不同的 vali（来自不同的操作）来达到0。
2. 关键观察：对于每个位置i（其初始值为nums[i]），我们需要从查询集合中选出一个子集（这些查询必须覆盖位置i，即li
3. 二分搜索：我们使用二分搜索来寻找最小的k（0到len(queries)+1），使得前k个查询能够满足所有位置的需求（即对于每个位置i，存在一个覆盖它的查询子集（来自前k个查询），其 vali 的和等于 nums[i]）。
4. 验证函数（二分搜索的内部）：对于给定的k（即使用前k个查询），检查是否所有位置i（其中nums[i] != 0）都能被满足：然而，代码中使用了多重背包的二进制优化（但为什么？）因为实际上，对于同一个vali值，可能有多个查询（即多个物品具有相同的价值vali）。因此，我们可以将相同vali的物品分组，形成多重背包？但注意：每个查询是独立的（即使vali相同），所以实际上每个物品都是独立的（因为每个查询对应一个物品），所以应该是01背包？但代码中却使用了多重背包的二进制优化：它将相同vali值的查询分组（计数），然后使用二进制优化（将相同价值的物品分组，然后拆分成2的幂次个）来优化。这是因为对于同一个vali值，如果有多个查询，那么这些查询是相同的物品（价值相同），所以可以合并（但注意：这些查询是不同的操作，但对于位置i来说，它们的效果相同（都是减去vali），所以确实可以视为相同物品？但这里每个查询只能被使用一次（对于位置i来说），所以实际上就是多重背包（有多个相同价值的物品）？因此，对于每个vali值（从1到10），我们统计覆盖i的查询中vali等于该值的查询数量（即物品的数量）。然后，使用二进制优化将多重背包转化为01背包。具体地，对于位置i，我们有一个背包容量为nums[i]，以及10种物品（vali从1到10），每种物品有cnt[v]个。我们需要判断是否可以从这些物品中选出一个子集，使得恰好装满背包（即价值和等于nums[i]）。
• 对于每个位置i（nums[i] != 0），收集所有覆盖i的前k个查询（即查询的区间[li, ri]包含i，且查询的索引小于k）。
• 对于这些查询，每个查询提供一个价值为 vali 的“物品”，并且每个查询的数量是1（但注意：同一个查询可以被多个位置使用，所以对于单个位置i来说，每个查询只能使用一次）。因此，对于位置i，问题转化为：从这些查询（物品）中选出一个子集，使得子集的和恰好为nums[i]？但这里每个查询（物品）的“体积”是vali，并且每个物品只有一个（但注意：实际上同一个查询可以被多个位置使用，所以对于单个位置i的限制是每个查询最多用一次？但这里我们只考虑一个位置i，所以确实每个查询最多只能选一次（即要么在位置i上应用该操作，要么不应用）。所以是01背包？但注意：每个查询的vali可能相同，所以可能有多个查询具有相同的vali？因此，对于位置i，我们实际上有多个物品（每个覆盖i的查询就是一个物品），物品的价值是vali，且每个物品只有一个。所以这是一个01背包问题？但物品数量最多为k（即前k个查询中覆盖i的查询数量），而背包容量为nums[i]（最大1000）。但k最大1000，nums[i]最大1000，所以直接01背包（O(ncapacity)）是可行的？但这里n是覆盖i的查询数量，最多1000，容量1000，所以最多10^6次操作 per position？但总共有10个位置，所以总验证次数最多1010^6=10^7，在Go中可能可行。
5. 使用大整数（big.Int）表示背包状态：为了高效地进行背包DP，代码中使用了一个大整数f（看作一个bitset），其中第j位为1表示背包容量j可以被恰好装满。初始化f=1（即容量0可以被装满）。然后，对于每种价值v，我们将其物品数量进行二进制拆分（例如，有5个价值为v的物品，则拆成1个、2个、2个？二进制拆分：1,2,2确实可以表示0~5），然后每次加入一个“大物品”（大小为vk，其中k是拆分出的数量）。通过左移和OR操作来更新状态（即加入一个大小为vk的物品，相当于将当前状态左移v*k位然后OR）。最后检查f的第nums[i]位是否为1（即容量nums[i]能否被装满）。
6. 验证过程：对于每个非零元素nums[i]，我们执行上述的多重背包（二进制优化）判断。如果所有位置都能被满足，则k可行；否则不可行。
7. 二分搜索范围：k从0到len(queries)（包括），所以二分搜索最多进行log2(1000)≈10次。每次验证需要处理所有非零位置（最多10个），每个位置处理最多10种物品（每种物品二进制拆分后最多log2(1000)≈10组），所以总验证次数为10（二分次数）*10（位置）*10（物品种类）*10（二进制拆分组数）≈10000次操作（但实际中背包状态用bitset操作，左移和OR操作很快）。
• 二分搜索：O(log(Q))，其中Q是查询数量（最多1000，所以二分大约10次）。
• 每次验证：遍历所有位置（最多10个），对于每个位置，收集覆盖它的查询（但这里没有显式遍历所有查询？实际上，代码中对于每个位置i，遍历前k个查询来统计每个vali的出现次数？这需要O(k) per position，所以总验证中收集查询需要O(10*k)）。
• 然后对于每个位置，进行多重背包的二进制优化：物品种类为10（vali从1到10），每种物品二进制拆分成O(log(cnt))组（最多log(1000)≈10组），所以总组数最多100组？然后对于每组，进行bitset的左移和OR操作（bitset长度为nums[i]+1，最大1001，所以每次左移和OR操作的时间复杂度可以看作O(1)？因为bitset用大整数实现，但实际操作时间与位数有关，但这里位数只有1001，所以可以视为常数时间）。
• 因此，每次验证的总时间复杂度为O(10 * k + 10 * 100) = O(k)（因为k最大1000，所以每次验证大约10*1000 + 1000 = 11000次操作？）。
• 总时间复杂度：二分次数 * 每次验证时间 = O(log(Q) * (10 * k)) = O(10 * 1000 * 10) = 100000（最坏情况下）。
• 主要空间是存储nums和queries：O(n + Q) = O(10+1000)=1010。
• 验证过程中，对于每个位置，统计cnt数组（大小11）和背包状态（一个大整数，大约1001位，所以空间O(1)？因为固定大小）。
• 因此总额外空间复杂度为O(n + Q)。
package mainimport ( "fmt" "math/big" "sort")func minzeroArray(nums int, queries int)int { ans := sort.Search(len(queries)+1, func(mx int)bool { p := new(big.Int) next: for i, x := range nums { if x == 0 { continue } cnt := [11]int{} for _, q := range queries[:mx] { if q[0] 0; pow2 *= 2 { k := min(pow2, num) f.Or(f, p.Lsh(f, uint(v*k))) // 视作一个大小为 v*k 的物品 if f.Bit(x) > 0 { continue next } num -= k } } returnfalse } returntrue }) if ans我们相信Go语言和算法为普通开发者提供了困境的“面试利器”，并致力于分享全面的编程知识。在这里，您可以找到最新的Go语言教程、算法解析、提升面试竞争力的秘籍以及行业动态。
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来源：伟泽教育