柯西-施瓦兹不等式

摘要：前两天，介绍信息领域中的信号测不准定理。利用信号时域波形和频谱波形的二阶矩作为信号宽度，也就是中心位置不确定性的度量。它们之间的乘积等于等于一个常量。使用傅里叶变换的微分性质以及能量守恒定理，可以将乘积表达式更换为时域的乘积，最后一步需要使用到柯西-

一、信号测不准原理

前两天，介绍信息领域中的信号测不准定理。利用信号时域波形和频谱波形的二阶矩 作为信号宽度，也就是中心位置不确定性的度量。它们之间的乘积等于等于一个常量。使用傅里叶变换的微分性质以及能量守恒定理，可以将乘积表达式更换为时域的乘积，最后一步需要使用到柯西-施瓦兹不等式，合并分子乘积两项，最后得到证明的结果。这是其需要应用的柯西-施瓦兹不等式究竟如何证明，下面给出它的常见到的证明过程。

在这里只证明在两个函数都是实数函数的情况，假设使用 g(x) 的倍数去逼近 f(x)。两者之间的误差信号能量是对误差信号平方的积分。这个误差能量是参数 y 的函数。将上面积分号的表达式展开。对应给定的任意 f(x), g(x)，

这个表达式是关于 y 的二次多项式。对应的系数设为ABC。由于该函数对应的是误差信号的能量，始终大于等于0。根据二次多项式的性质，他的系数满足一个不等式，也就是二次多项式根式中的判别式的值小于等于0。将系数使用它们各自的表达式替代，此时，我们就得到了所需要证明的柯西-施瓦兹不等式了。它说明对于两个信号内积的能量，小于等于两个信号能量的乘积。等号的成立条件，要求两个信号 f(x), g(x) 之间是一个比例关系。