摘要：题目：如图1，H是锐角△ABC的垂心，AD是BC边上的高，以AD为直径作圆分别交AB、AC于点E、F，EF分别交BH、CH于点M、N。求证：BE·CF=DM·DN。

题目：如图1，H是锐角△ABC的垂心，AD是BC边上的高，以AD为直径作圆分别交AB、AC于点E、F，EF分别交BH、CH于点M、N。求证：BE·CF=DM·DN。

解题思路：连接DE、DF，则DE⊥AB，DF⊥AC（图2）；

延长BH、CH分别交AC、AB于点Q、P，则CP⊥AB，BQ⊥AC，故有ED∥PC，∠BDE=∠BCP=α；FD∥BQ，∠CDF=∠CBQ=θ。

易证BC为圆的切线，D为切点，根据弦切角定理：

∠BDE=∠DFE=α，∠CDF=∠DEF=θ→∠DFE=∠BCP=α，∠CBQ=∠DEF=θ→B、E、M、D和D、N、F、C均为四点共圆→DM⊥BQ，DN⊥PC→四边形EPND、FQMD均为矩形→EP=DN，FQ=DM。

在△BPC中，ED∥PC→BE/EP=BD/DC→BE/DN=BD/DC；

在△CQB中，DF∥QB→CF/FQ=DC/BD→CF/DM=DC/BD→DM/CF=BD/DC。

故BE/DN=DM/CF，BE·CF=DM·DN成立。

本题还可得知两个相似三角形（△ABC∽△DMN，△BHC∽△NHM）和M、D、N、H四点共圆（图3）。

来源：鑫鹏教育