摘要：晶格势的非谐性导致声子之间的相互作用。多体相互作用是非常复杂的。
晶格势的非谐性导致声子之间的相互作用。多体相互作用是非常复杂的。
声子之间的一般非谐非弹性相互作用不能用弛豫时间方法来处理。
但如果假设一个声子受到扰动，剩余的声子都处于平衡状态，便可以通过弛豫时间方法来处理相互作用。
经历三声子过程的声子 的分布函数 的变化率由下式给出
根据单模弛豫率的定义，我们有
通过比较上面两个式子，假设其他声子处于平衡状态，即，设置 ，声子的单模非谐弛豫率可以用碰撞算子 的对角部分来描述：
其中，
这里， 是动量守恒因子， 是质量密度， 是晶胞的体积， 是晶胞数量， 是倒易晶格向量。
是三声子散射强度，取决于 、 和 的方向以及晶体的二阶和三阶弹性常数。
三声子散射强度的计算非常复杂。
Hamilton 和 Parrott (1969) 首次基于各向同性假设计算了 。
Srivastava、Singh 和 Verma (1971) 计算了简单立方晶体内不同过程的 。
一旦计算出所需晶体的三声子散射强度，则可以获得不同三声子过程的弛豫率表达式。
应该注意的是，对于 U 过程需要了解倒易晶格向量 。关于三维晶体的真实倒易晶格向量的知识很少。该问题可以通过采用 Parrott 的方法来解决，他将 视为沿 方向的赝倒易晶格向量，其大小等于德拜直径。
我们把 分为两部分：
—— 声子与声子组合产生声子
—— 声子分解为声子和声子
根据选择规则， 仅由 贡献。
根据
可以得到：
其中，
能量和动量守恒关系可以表示为：
其中， 和 符号分别对应于 Class I 和 Class II； 对应 N 过程， 对应 U 过程； 是德拜半径。在这里，如前所述，我们使用了赝倒易晶格向量
如果 表示 和 之间的角度，则有 ，而且 。
引入新变量 ，，，，通过能量和动量守恒关系，可以得到下面的不等式
Class I：N 过程
U 过程
Class II：N 过程
U 过程
然后，可以把不同过程的散射率重新写为：
三声子散射强度：
这里的 ， 和 与三阶弹性常数有关， 和 是 Lame 常数。
不同过程不同偏振模式的弛豫率的频率和温度依赖性可以写为 ，其中 是频率和温度的复杂函数。
高温（HT）时 ，
其中 和 是常数，取决于 的范围、三声子的模式组合 和温度。
低温（LT） 时 ，，
N 过程Class I
Class II
因此，
其中， 和 是常数。
U 过程Class I
Class II
因此，
其中，、 和 是常数。
Herring 的公式
其中 。
低频横向声子 参与的 N 过程 （class I）被称为 Landau-Rumer 过程。
低频纵向声声子通过 、 和 过程的弛豫率遵循的频率和温度依赖性（Pomeranchuk，Kwok）:
来源：涵馥虞
