摘要：齐次线性方程组是指形如Ax=0的线性方程组，其中A是系数矩阵，X是未知量向量，0是零向量。自由未知量(free variables)是这类方程组解结构中的一个重要概念。

齐次线性方程组中的自由未知量详解。

齐次线性方程组是指形如Ax=0的线性方程组，其中A是系数矩阵，X是未知量向量，0是零向量。自由未知量(free variables)是这类方程组解结构中的一个重要概念。

·基本概念1.自由未知量的定义。在齐次线性方程组的解中，可以任意取值的未知量称为自由未知量或自由变量，与之相对的是"基本未知量"(basic variables)，它们的值由自由未知量决定。

·2.为什么存在自由未知量？当方程组中独立方程的数量少于未知量的数量时系统就有无限多解，自由未知量的数量等于未知量总数减去系数矩阵的秩(n-rank(A)。

确定自由未知量的方法：

·1.将系数矩阵化为行最简形(RREF)。通过初等行变换将矩阵化为行最简形，每行的首非零元对应的未知量是基本未知量，其余未知量就是自由未知量。

·2.示例方程组：x1+2x2-x3=0，系数矩阵的RREF：[12-1|0][000|0]，基本未知量：x1自由未知量：x2x3。

自由未知量的意义：

·1.解空间的维数。自由未知量的数量等于解空间的维数(即零空间的维数)，每个自由未知量对应解空间的一个基向量。

·2.参数化表示。自由未知量允许用参数表示方程组的全部解，在上例中解可表示为：x1=-2s+tx2=s，x3=t其中st为任意实数。

·3.几何解释。在几何上自由未知量的存在意味着解空间是一个穿过原点的平面、直线或更高维的子空间，自由未知量的数量决定了这个子空间的维数。

·特殊情况1.唯一零解情况。当rank(A)=n(未知量个数)时，没有自由未知量-唯一解是零向量。

·2.所有未知量都是自由未知量。当A是零矩阵时所有未知量都是自由的，解空间是整个R^n。

理解自由未知量对于掌握线性方程组的解结构至关重要，特别是在求解齐次线性方程组的基础解系时。

来源：公务员小课堂鉴