摘要：主角是Dennis Gaitsgory，哈佛数学系的犹太天才，研究方向——几何朗兰兹猜想（Geometric Langlands Conjecture）。
几十年了，一群顶尖数学家，在一座没人能看懂的象牙塔里，啃着一块几乎没人敢碰的硬骨头。现在，800页的证明写出来了。
主角是Dennis Gaitsgory，哈佛数学系的犹太天才，研究方向——几何朗兰兹猜想（Geometric Langlands Conjecture）。
这是一个试图统一现代数学多个分支的大计划。这个计划的开端，是1967年Robert Langlands给法国数论泰斗André Weil写的一封信。
这封信后世称为“朗兰兹计划”的开端。朗兰兹提出了一种极为大胆的构想：在数论、表示论、代数几何、群论甚至数学物理之间，存在某种深刻对称，可以通过“标签”和“构件”进行转换。所有的复杂结构，背后都有隐藏的简单模式，像是万物背后的操作系统。
有人说，这是数学中的“大统一理论”。
它的灵感，来自傅里叶分析。
傅里叶早在19世纪提出，一个任意复杂的波动信号，都可以分解成一组简单的正弦波。这组正弦波就是基本构件，它们的频率就是“标签”。用这些构件加标签，就可以重建原始信号。JPEG压缩、音频识别、MRI图像处理，都靠它。
数学家在Langlands项目中问了一个问题：傅里叶分析那一套，能不能推广到更抽象的数学对象？比如说，函数、数域、代数簇，甚至“空间上的空间”。
于是，一场更大的游戏展开了。
起初，在数论的语境中，朗兰兹猜想的“构件”是函数，而“标签”是某种与伽罗瓦群（Galois group）有关的表示。后来，数学家觉得函数太“物理”，转而引入一个更抽象的概念：层（sheaf）。
Sheaf，是一类集合的集合。直观上，就像一堆在其他几何对象上生长的麦穗。每一个sheaf都代表一类函数的集合：比如连续函数、可微函数、代数函数等。
但这还只是开始。
到了1990年代，朗兰兹项目转向几何。原本基于数论的标签系统，被“几何化”，演变为几何朗兰兹项目。构件，也从普通sheaf，转向一个更精致的子类：eigensheaf。
Eigensheaf，相当于傅里叶分析里的正弦波，是可以“对角化”的sheaf。每一个eigensheaf，都可以配对一个“标签”，这个标签是一种表示，描述的是基本空间的“loop”结构——数学上叫“基本群的表示”（representation of the fundamental group）。
我们可以这样理解：傅里叶分析分解的是“声音”，几何Langlands分解的是“几何结构上的sheaf”；傅里叶分析的标签是频率，几何Langlands的标签是某种拓扑意义上的路径组合。
问题是，eigensheaf太难构造，直接写下它几乎不可能。
于是Gaitsgory提出了一个核心框架，叫“基本图”（Fundamental Diagram）。他构想了一个能把标签空间和sheaf空间串联起来的几何机器。这个机器的关键，是一个叫Poincaré sheaf的复合对象。
Poincaré sheaf是什么？一句话，它是一个可以“吸收”所有eigensheaf的容器。就像白光包含所有颜色一样，Poincaré sheaf应该包含所有可能的eigensheaf。
关键在于如何证明这是真的。
Gaitsgory画出了图，但Poincaré sheaf那块拼图没落下。直到他的一位学生——Sam Raskin，入场。
Raskin当年刚进哈佛，导师正好就是Gaitsgory。他很快被这个项目吞噬了。博士期间开始啃Poincaré sheaf，毕业之后还在啃。终于在2022年，Raskin和自己的学生搞定了这一关键部分：他们证明了，Poincaré sheaf确实包含了所有eigensheaf。
也就是说，哪怕我们写不出一个具体的eigensheaf，但我们可以写出Poincaré sheaf，然后用它像棱镜分光那样，反推出所有的构件。
这块拼图一旦补上，整个图景就闭合了。
接下来的两年里，Gaitsgory和Raskin，联合7位数学家，写出五篇论文，总共800页，完成了几何Langlands猜想的证明。
这不是一般的“解题”，而是建造了一个新的“世界”。
就像他们自己说的：前面几十年像是在黑森林里摸索，现在终于知道该盖什么楼，用什么砖，怎么搭结构。
而且这还是个自洽系统——像是自然给出的语言，一旦看懂，结构就不再混沌，而是自发地展开。正如Gaitsgory总结的那句：这是那种对称性决定解的情形。换句话说，有些问题的结构如此完美，对称性已经预先给出答案。
这是数学里最惊人的部分。而且，这个猜想，还不仅仅是“美”这么简单。
它已经和量子场论、顶点代数、弦理论产生了深刻联系。几十年来，物理学家也在反复用几何Langlands的语言来表达规范场论（Gauge Theory）里的对偶性（Duality）结构。
说白了，两个看似无关的场——电磁场和强相互作用场，可能在某种坐标系下是等价的。这种“换个语言就统一”的能力，几何朗兰兹可以提供。
回头看，这一切的起点，竟然是1967年一封信。而如今，这封信激发的梦想，终于落地。
来源：老胡科学