摘要：这项由波兰克拉科夫TripleSun公司的Jakub Michańków博士领导的突破性研究发表于2025年8月，论文完整标题为《Forecasting Probability Distributions of Financial Returns with D
这项由波兰克拉科夫TripleSun公司的Jakub Michańków博士领导的突破性研究发表于2025年8月，论文完整标题为《Forecasting Probability Distributions of Financial Returns with Deep Neural Networks》。有兴趣深入了解的读者可以通过arXiv:2508.18921v1访问完整论文，该研究为金融风险评估领域带来了革命性的进展。
在传统金融世界里，预测股市就像试图预测明天的天气一样困难。银行和投资公司长期以来一直依赖传统的数学模型来评估风险，但这些模型往往像用放大镜看大象一样，只能捕捉到局部信息，无法全面理解市场的复杂行为。更重要的是，这些传统方法通常只告诉你股价可能涨跌多少，却无法告诉你这种预测的可信度有多高。
Michańków博士的研究团队意识到，现代金融机构需要的不仅仅是一个简单的涨跌预测，他们需要知道这个预测背后的完整不确定性图景。就像天气预报不仅告诉你明天可能下雨，还会告诉你下雨概率是70%一样，金融预测也需要提供完整的概率分布信息。这种完整的概率信息对于银行计算风险资本、投资公司制定投资策略、监管机构评估系统性风险都至关重要。
研究团队面临的核心挑战是：深度神经网络能否提供准确的股票收益分布预测？这些概率预测能否用于实际的金融风险评估？深度学习模型是否能够超越经典的GARCH等传统计量经济学方法？为了回答这些问题，研究团队开发了一套创新的深度学习框架，就像为金融预测量身定制了一套全新的工具箱。
这项研究的创新之处在于，它首次将深度神经网络的强大模式识别能力与金融风险管理的实际需求完美结合。研究团队不仅开发了全新的损失函数来直接优化分布参数，还在六个主要全球股指上进行了大规模验证，为现代金融机构提供了一个强有力的风险管理新工具。
一、传统金融预测的困境与深度学习的机遇
传统的金融预测就像用老式胶卷相机拍摄高速运动的赛车一样，往往无法捕捉到市场动态的全貌。经典的计量经济学方法虽然在理论上严谨，但面对现代金融市场复杂的非线性关系和时变波动性时显得力不从心。这些传统方法就像试图用简单的几何图形来描绘一幅复杂的抽象画，必然会丢失很多重要信息。
更关键的问题是，传统方法往往只关注点预测，就像只告诉你目的地在哪里，却不告诉你到达那里有多大把握。但在金融世界里，不确定性的量化比预测本身更加重要。一家银行需要知道的不仅仅是某只股票明天可能涨1%，更需要知道这个1%的预测有多可靠，最坏情况下可能跌多少。
深度学习的出现为解决这些问题带来了全新的可能性。深度神经网络就像拥有千里眼的智能分析师，能够同时处理大量历史数据，发现人类分析师可能忽略的复杂模式。更重要的是，通过特殊的设计，这些网络不仅能给出预测值，还能提供完整的概率分布信息，就像不仅告诉你明天可能下雨，还能详细描述下小雨、中雨、大雨的具体概率。
然而，将深度学习应用于金融概率预测并非易事。金融时间序列具有许多独特的特征，比如波动聚集性（volatility clustering）、厚尾分布（heavy tails）和非对称性（asymmetry）。波动聚集性意味着市场的剧烈波动往往成群出现，就像暴风雨天气一样，一场风暴过后往往还会有后续的风暴。厚尾分布意味着极端事件的发生概率远高于正常分布的预测，就像金融市场中的"黑天鹅"事件比我们想象的更常见。非对称性则意味着市场的上涨和下跌表现出不同的特征，通常下跌比上涨更加剧烈。
针对这些挑战，Michańków博士的研究团队开发了专门适应金融时间序列特征的深度学习架构。他们选择了两种互补的网络结构：一维卷积神经网络（CNN）和长短期记忆网络（LSTM）。CNN就像一个精密的模式扫描仪，特别擅长识别数据中的局部模式和短期趋势。而LSTM则像一个记忆力超强的分析师，能够记住长期的历史信息，捕捉时间序列中的长期依赖关系。
更加创新的是，研究团队为这些网络设计了三种不同的概率分布输出：正态分布、学生t分布和偏斜学生t分布。正态分布就像一个标准的钟形曲线，适合描述相对平稳的市场状况。学生t分布则像一个更宽的钟形曲线，能够更好地捕捉金融市场中的极端事件。偏斜学生t分布更进一步，不仅能处理极端事件，还能捕捉市场的非对称性，就像能够同时描述股市暴跌比暴涨更常见这样的现象。
为了训练这些网络，研究团队开发了定制的负对数似然损失函数。这些损失函数就像专门为金融数据设计的评分规则，能够直接优化分布参数。对于正态分布，损失函数相对简单，主要包含方差惩罚和平方误差项。对于学生t分布，损失函数需要包含伽马函数项和自由度参数来处理厚尾特性。而对于偏斜学生t分布，损失函数则采用了分段构造的方式，通过海维赛德函数来捕捉非对称性。
这种技术创新的意义在于，它让神经网络能够直接学习如何生成完整的概率分布，而不仅仅是单一的预测值。这就像教会了计算机不仅能预测明天的温度，还能给出完整的温度分布范围和每个温度值的出现概率。
二、数据实验设计：全球市场的全面验证
为了验证这套深度学习框架的有效性，研究团队设计了一个覆盖全球主要市场的大规模实验。他们选择了六个代表不同地区和经济发展水平的主要股指：美国的标普500、巴西的BOVESPA、德国的DAX、波兰的WIG、日本的日经225和韩国的KOSPI。这种选择就像在全球不同气候带设立气象观测站一样，能够全面测试模型在各种市场环境下的表现。
实验数据跨越了从2000年1月3日到2021年12月31日的完整时期，涵盖了22年的市场变化，包括了2008年金融危机、欧洲债务危机、2020年新冠疫情等多个重大市场事件。这个时间跨度就像一个完整的经济周期样本，能够充分测试模型在不同市场状态下的鲁棒性。每个指数提供了2487个预测点，为统计检验提供了足够的样本量。
研究团队采用了滚动窗口验证的方法，这种方法就像一个移动的时间窗口，不断向前滑动进行验证。初始训练窗口包含1008个交易日（约四年），验证集占训练数据的33%，测试集大小为504天。每次预测都基于最近10天的观测数据，就像医生诊断时会参考病人最近的体温变化趋势一样。
这种实验设计的巧妙之处在于它完全模拟了实际的交易环境。在真实世界中，投资者只能基于历史数据做出决策，无法"偷看"未来的信息。滚动窗口方法确保模型在每个时点的预测都只使用到该时点为止的历史信息，避免了任何形式的前瞻性偏差。
模型训练过程采用了精心调优的超参数配置。研究团队结合使用了手动调参和KerasTuner自动调参工具，就像厨师在烹饪时既依靠经验又使用精密的测量工具一样。对于LSTM网络，他们使用了三层递减的神经元结构（128/64/32），能够从粗到细地提取特征。CNN网络则使用了256个滤波器和大小为2的卷积核，专门优化用于捕捉短期模式。
训练过程中，每次迭代都进行300个周期的训练，并使用模型检查点回调函数来保存最佳权重。这就像在马拉松比赛中记录每个里程碑的最佳时间一样，确保能够找到模型的最优状态。dropout正则化被设置为0.02，L2正则化为0.002，这些技术就像给模型装上了防过拟合的安全装置，防止它过度记忆训练数据而失去泛化能力。
为了确保实验结果的可靠性，研究团队还设计了多层次的评估指标体系。他们不仅使用传统的点预测评估指标，还引入了专门针对概率预测的评估方法，包括对数预测分数（LPS）、连续排序概率分数（CRPS）和概率积分变换（PIT）检验。
对数预测分数就像一个严格的评判员，专门评估预测分布对实际观测值的拟合程度。分数越低，表示模型对真实结果的预测越准确。连续排序概率分数则更加全面，它不仅考虑预测的准确性，还考虑整个分布的形状，就像不仅要求射击命中靶心，还要求子弹的散布模式合理。
概率积分变换检验是一个特别巧妙的校准检验方法。如果一个模型的概率预测是完全准确的，那么将实际观测值通过预测的累积分布函数转换后，应该得到均匀分布。这就像一个完美的翻译器，能够将任何语言的文本转换成标准的国际语言一样。通过检验转换后的数值是否符合均匀分布，就能判断模型的校准质量。
三、突破性研究成果：LSTM模型展现卓越性能
经过大规模实验验证，研究结果显示出了令人印象深刻的性能表现。在所有测试的模型-分布组合中，配备偏斜学生t分布的LSTM网络（LSTM-SSTD）在多个评估指标上都展现出了最优的表现，就像在各项全能比赛中都获得了优异成绩的选手一样。
以标普500指数为例，LSTM-SSTD配置取得了1.1933的对数预测分数和0.5094的连续排序概率分数，这两个指标在所有测试配置中都是最低的，意味着最优的预测精度。相比之下，使用正态分布的CNN模型在相同指数上的对数预测分数为1.2820，差距虽然看似微小，但在金融预测领域，这种改进已经具有实质性的意义。
在日经225指数上，LSTM-SSTD同样表现出色，对数预测分数为1.5854，连续排序概率分数为0.6874。韩国KOSPI指数的结果更加令人鼓舞，对数预测分数降至1.2847，连续排序概率分数为0.5165。这些结果表明，模型在不同市场环境和文化背景下都能保持稳定的预测能力。
更重要的发现体现在概率积分变换检验的结果上。传统的正态分布假设在大多数情况下都表现出显著的校准偏差，p值几乎为零，这意味着正态分布无法准确描述金融收益的真实概率特征。然而，偏斜学生t分布的表现截然不同，在标普500上获得了0.031的p值，远高于传统的显著性阈值，表明其概率预测具有良好的校准性质。
这种校准性质的改善可以通过直观的可视化来理解。研究团队绘制的概率积分变换直方图显示，使用偏斜学生t分布的LSTM模型产生的转换值最接近均匀分布，而正态分布模型的转换值则呈现出明显的非均匀模式。这就像一个技艺精湛的射手，不仅能够命中靶心，而且每次射击的偏差都呈现出可预测的随机模式。
从架构比较的角度来看，LSTM网络相对于CNN网络表现出了明显的优势。这种优势主要源于LSTM特有的记忆机制，使其能够更好地捕捉金融时间序列中的长期依赖关系。金融市场具有明显的序列相关性，今天的市场状态往往受到过去多天甚至多周信息的影响。LSTM的门控机制就像一个智能的信息过滤器，能够选择性地记住重要的历史信息，忘记无关的噪声。
相比之下，CNN网络虽然在局部模式识别方面表现出色，但在处理长期依赖关系时存在天然的局限性。不过，CNN网络也有其独特的优势，特别是在计算效率方面。对于需要高频交易或实时风险监控的应用场景，CNN网络的快速响应能力可能更加重要。
分布选择方面的结果为金融风险建模提供了重要启示。偏斜学生t分布的优异表现证实了金融收益分布的两个重要特征：厚尾性和非对称性。厚尾性意味着极端市场事件的发生频率远高于正态分布的预期，这正是2008年金融危机等"黑天鹅"事件能够对全球经济造成巨大冲击的根本原因。非对称性则反映了投资者行为的不对称特征，市场恐慌往往比市场狂欢来得更加猛烈。
这些发现对实际的风险管理具有直接的应用价值。传统的风险管理工具，如风险价值（VaR）和期望损失（ES），往往基于正态分布假设来计算。但研究结果表明，这种假设可能严重低估了极端风险的概率，导致金融机构在面临市场危机时准备不足。通过采用偏斜学生t分布，风险管理者能够获得更加准确的风险评估，为制定更加稳健的风险管理策略提供科学依据。
四、风险价值评估：深度学习模型的实战表现
风险价值（Value-at-Risk, VaR）评估是现代金融风险管理的核心工具，就像建筑工程中的安全系数计算一样重要。VaR告诉我们在给定的置信水平下，投资组合在未来特定时期内可能遭受的最大损失。研究团队对所有模型在5%和1%置信水平下的VaR预测性能进行了全面评估，结果显示深度学习模型在风险预测方面表现出了与传统GARCH模型相当甚至更优的性能。
在5%风险价值预测方面，神经网络模型展现出了令人印象深刻的准确性。理论上，5%的VaR意味着每100个交易日中应该有5天出现超过预测的损失。LSTM-N模型在标普500上实现了4.86%的实际违约率，非常接近理论值。日经225指数上的LSTM-STD模型表现同样出色，违约率为4.58%。这种精确性就像一个经验丰富的天气预报员，能够准确预测下雨的天数。
更值得注意的是，这些模型不仅在平均表现上接近理论值，在统计检验上也表现优异。Kupiec检验和Christoffersen检验是评估VaR模型有效性的标准工具，前者检验违约率是否正确，后者进一步检验违约是否独立分布。研究结果显示，大部分神经网络配置都能通过这两个严格的统计检验，证明了其预测的统计学有效性。
1%风险价值的预测更加具有挑战性，因为它关注的是更加极端的市场事件。在这个更加严格的测试中，LSTM-STD模型表现尤为突出，在标普500和日经225上都实现了1.01%的违约率，几乎完美地匹配了理论预期。这种精确性在金融风险管理中具有重要意义，因为1%的VaR通常用于计算监管资本要求，直接影响银行的资本充足率。
通过与传统GARCH模型的直接对比，深度学习方法的优势更加明显。在标普500的5%VaR预测中，最佳神经网络模型（LSTM-N）实现了4.86%的违约率，而最佳GARCH模型（G-STD）的违约率为5.11%。虽然两者都在可接受范围内，但神经网络模型显示出更高的精确度。
在日经225指数上，对比结果更加显著。LSTM-STD模型的违约率为4.58%，而最佳GARCH模型（AP-SSTD）为4.91%。德国DAX指数和韩国KOSPI指数的结果同样支持深度学习方法的优越性。这些结果表明，深度学习模型不仅能够捕捉传统模型识别的风险模式，还能发现传统方法可能遗漏的复杂关系。
从时间序列的可视化结果可以看出，神经网络模型在捕捉市场压力期间的风险变化方面表现出色。2008年金融危机期间、2020年新冠疫情爆发初期等重大市场事件中，模型的VaR估计都能及时反映风险的急剧上升。更重要的是，违约事件的分布模式显示出良好的聚集特征，即风险违约往往集中在市场动荡期间，这与金融市场的实际表现高度一致。
期望损失（Expected Shortfall）的评估结果进一步验证了模型的有效性。期望损失衡量的是在发生VaR违约的情况下，实际损失的期望值，它提供了比VaR更加全面的风险信息。McNeil-Frey检验结果显示，学生t分布和偏斜学生t分布的模型配置在期望损失预测方面表现良好，而正态分布假设在某些情况下出现了统计显著的偏差。
这些结果对实际的风险管理应用具有重要启示。首先，它们证明深度学习方法可以作为传统风险模型的有效替代或补充。其次，偏斜学生t分布在处理金融风险的非对称性方面展现出明显优势，特别适合用于下行风险的评估。最后，LSTM架构在金融风险建模中的优异表现为时间序列风险预测提供了新的技术路径。
从监管合规的角度来看，这些结果也具有实际意义。巴塞尔协议III要求银行使用经过验证的内部模型来计算市场风险资本，模型必须通过严格的回测检验。研究结果表明，基于深度学习的VaR模型完全有能力满足这些监管要求，为金融机构提供了新的模型选择。
五、模型校准与概率预测的精确性验证
模型校准是概率预测质量评估的核心指标，就像检验一个温度计是否准确一样重要。一个完美校准的概率预测模型应该能够保证：当模型预测某事件发生概率为30%时，在大量重复实验中，该事件确实应该在约30%的情况下发生。研究团队通过概率积分变换（PIT）检验对所有模型配置进行了深入的校准分析。
PIT检验的工作原理非常巧妙。它将每个实际观测值通过模型预测的累积分布函数进行转换，如果模型的概率预测是完全准确的，转换后的数值应该服从0到1之间的均匀分布。这就像一个完美的翻译系统，能够将任何输入都转换成标准化的输出格式。
在标普500指数上，使用正态分布的模型配置显示出严重的校准偏差，PIT检验的p值几乎为零（2.41e-07），意味着正态分布假设与实际数据存在显著差异。这种偏差在PIT直方图中表现为明显的非均匀分布模式，通常呈现U形或倒U形，表明模型系统性地高估或低估了某些概率区间。
相比之下，LSTM-SSTD配置在同一指数上获得了0.031的p值，远高于常规的0.05显著性阈值，表明其概率预测具有良好的校准性质。对应的PIT直方图显示出接近矩形的均匀分布形状，证明了模型在各个概率区间上的预测都是可信的。
这种校准性能的改善在不同市场上表现出一致的模式。在所有测试的六个指数中，偏斜学生t分布的配置通常都能实现更好的校准效果，而正态分布假设几乎在所有情况下都被强烈拒绝。这个结果为"金融收益不服从正态分布"这一经典金融学发现提供了新的实证支持。
从模型架构的角度来看，LSTM网络在校准性能上普遍优于CNN网络。这种优势可能源于LSTM更强的序列建模能力，使其能够更准确地捕捉收益分布的时变特征。金融市场的概率特征并非静态不变，而是随着市场环境、投资者情绪和宏观经济条件的变化而动态调整。LSTM的记忆机制让它能够更好地适应这种动态变化。
校准性能的提升对实际应用具有重要价值。在投资组合管理中，基金经理需要根据概率预测来制定投资决策。如果模型系统性地低估了极端事件的概率，可能导致投资组合承担过高的风险。反之，如果过度高估了风险，可能导致投资策略过于保守，错失收益机会。良好的校准确保了概率预测的可信度，为科学的投资决策提供了坚实基础。
在风险管理应用中，校准性能直接影响着风险度量的准确性。监管机构越来越重视银行内部模型的概率预测质量，不仅要求VaR预测的违约率正确，还要求整个预测分布的校准性。研究结果表明，基于偏斜学生t分布的深度学习模型能够满足这些更加严格的要求。
值得注意的是，不同市场之间的校准性能存在一定差异，这反映了各个市场的独特特征。发达市场（如美国标普500、德国DAX）通常显示出更好的校准效果，可能因为这些市场具有更高的流动性和更成熟的投资者结构。新兴市场（如巴西BOVESPA、韩国KOSPI）的校准挑战相对更大，可能需要针对性的模型调整。
从技术实现的角度来看，实现良好校准的关键在于损失函数的精心设计。研究团队开发的定制化负对数似然损失函数能够直接优化分布参数，确保模型学习到的是真实的概率关系而非简单的点预测拟合。这种方法上的创新为概率机器学习在金融领域的应用奠定了重要基础。
研究还发现，模型的校准性能与其复杂度之间存在有趣的权衡关系。偏斜学生t分布虽然参数更多、计算更复杂，但其优异的校准效果证明了这种复杂性是值得的。这为金融建模中的"简约原则"与"拟合优度"之间的平衡提供了新的思考角度。
六、深度学习与传统GARCH模型的全面对决
为了客观评估深度学习方法的实际价值，研究团队将其与金融计量学的经典工具——GARCH家族模型进行了全面对比。这场对决就像传统工匠与现代机器之间的技艺比拼，既要比较最终产品的质量，也要考虑制造过程的效率和适用性。
GARCH模型家族在金融风险建模领域已经耕耘了数十年，积累了丰富的理论基础和实践经验。研究团队选择了四种代表性的GARCH变体：标准GARCH模型、非对称幂次GARCH（AP-GARCH）、指数GARCH（E-GARCH）和GJR-GARCH模型。每种模型都分别配备了正态分布、学生t分布和偏斜学生t分布三种误差分布假设，形成了12种不同的传统模型配置。
在5%风险价值预测的直接对比中，结果显示出有趣的竞争格局。对于美国标普500指数，最佳神经网络模型（LSTM-N）实现了4.86%的违约率，而最佳GARCH模型（G-STD）的违约率为5.11%。虽然数值差异看似微小，但在金融风险管理的精密世界中，这种改进已经具有实质意义。更重要的是，神经网络模型在统计检验方面表现更加稳健，更多配置能够通过Kupiec和Christoffersen的严格检验。
日经225指数的对比结果更加显著。LSTM-STD模型的4.58%违约率明显优于最佳GARCH模型（AP-SSTD）的4.91%表现。在德国DAX指数上，CNN-STD模型以5.42%的违约率战胜了E-SSTD模型的6.03%。韩国KOSPI指数的结果同样支持深度学习方法，LSTM-N模型的5.42%违约率显著优于AP-SSTD模型的6.15%。
1%风险价值的极端风险预测对比中，竞争变得更加激烈。在这个更加严苛的测试中，两类方法都表现出了各自的优势。LSTM-STD模型在标普500和日经225上都实现了1.01%的精确违约率，而对应的最佳GARCH模型分别为0.97%和0.92%。虽然GARCH模型的数值更接近1%的理论值，但神经网络模型在统计检验方面显示出更好的独立性特征。
这种性能对比的深层含义值得仔细分析。GARCH模型基于严格的数学理论框架，具有明确的经济学解释和成熟的统计推断方法。它们就像经过千锤百炼的传统工艺，每个步骤都有理论支撑和历史验证。相比之下，深度学习模型更像是基于经验学习的智能系统，通过大量数据训练获得预测能力，但内在机制相对难以解释。
然而，深度学习方法的优势在于其强大的非线性建模能力和自适应学习特性。金融市场的复杂性往往超出传统经济学理论的描述范围，存在许多难以用数学公式精确表达的非线性关系和交互效应。深度神经网络就像一个经验丰富的交易员，能够从历史数据中学习到这些复杂模式，即使无法用理论公式明确表述。
从计算效率的角度来看，两类方法各有特点。GARCH模型的参数相对较少，计算过程透明，适合需要快速响应和模型解释的场景。深度学习模型虽然训练过程较为复杂，需要大量计算资源，但一旦训练完成，预测过程同样高效，特别适合需要处理大量资产或高频数据的应用。
在模型稳定性方面，GARCH模型由于理论基础扎实，在不同时期和市场环境下通常表现出较好的一致性。深度学习模型的表现可能更加依赖于训练数据的质量和代表性，在面临与训练期显著不同的市场环境时，可能存在性能下降的风险。
然而，研究结果也显示出深度学习方法在适应市场变化方面的潜在优势。通过滚动窗口重新训练，神经网络模型能够持续学习最新的市场特征，这种适应性在快速变化的金融市场中可能具有重要价值。相比之下，传统GARCH模型的参数调整通常需要更多的统计推断过程，适应速度可能相对较慢。
从监管接受度的角度来看，GARCH模型由于其悠久的历史和理论基础，在监管机构中享有较高的认可度。深度学习方法虽然表现优异，但在获得监管认可方面可能需要更长时间。不过，随着人工智能技术在金融领域应用的不断深入，这种情况正在逐步改变。
综合来看，深度学习方法与传统GARCH模型各有优劣，在实际应用中可能需要根据具体需求进行选择。对于追求最高预测精度的量化投资应用，深度学习方法可能更具优势。对于需要模型可解释性和监管合规的传统金融机构，GARCH模型可能仍是首选。更有前景的可能是将两类方法结合使用，发挥各自的优势，构建更加稳健和全面的风险管理体系。
**Q&A**
Q1：深度神经网络预测金融风险比传统方法准确吗？
A：研究显示深度神经网络，特别是LSTM配备偏斜学生t分布的模型，在风险价值预测方面表现优异。例如在标普500上实现了4.86%的违约率，非常接近5%的理论值，且通过了严格的统计检验，整体表现与传统GARCH模型相当甚至更优。
Q2：为什么LSTM模型比CNN模型在金融预测中表现更好？
A：LSTM网络具有独特的记忆机制，能够更好地捕捉金融时间序列中的长期依赖关系。金融市场具有明显的序列相关性，今天的市场状态往往受到过去多天甚至多周信息的影响，LSTM的门控机制就像智能的信息过滤器，能够选择性地记住重要信息。
Q3：偏斜学生t分布为什么在金融建模中效果最好？
A：偏斜学生t分布能同时捕捉金融收益的两个重要特征：厚尾性和非对称性。厚尾性意味着极端事件发生频率高于正态分布预期，非对称性则反映市场下跌往往比上涨更剧烈。研究中该分布在概率积分变换检验中获得了0.031的p值，显示出良好的校准性质。
来源：科技行者一点号1
