摘要：正数：大于 0 的数叫正数，如 + 2、3、\(\frac{1}{2}\) 等，正数前面的 “+” 号可省略不写。
第一章 有理数
1.1 正数和负数
正数：大于 0 的数叫正数，如 + 2、3、\(\frac{1}{2}\) 等，正数前面的 “+” 号可省略不写。
负数：在正数前面加上 “-” 号的数叫负数，如 -1、 -2.5、\(-\frac{3}{4}\) 等。负数表示与正数相反意义的量。
0：既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界。0 的意义不仅表示 “没有”，在特定情境中有其实际含义，如在温度计上表示冰点。
1.2 有理数
有理数的概念：整数和分数统称有理数。
整数：包括正整数、0、负整数，如 1、0、 -3 等。
分数：包括正分数和负分数，如 \(\frac{1}{2}\)、\(-\frac{3}{4}\)、0.5（可化为 \(\frac{1}{2}\)）等。
数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。数轴上的点表示的数，右边的总比左边的大。
相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。0 的相反数是 0。互为相反数的两个数在数轴上关于原点对称，它们的和为 0。如 3 和 -3 互为相反数，3 + (-3) = 0。
绝对值：数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作 | a|。
正数的绝对值是它本身，如 | 3| = 3。
负数的绝对值是它的相反数，如 |-3| = 3。
0 的绝对值是 0，即 | 0| = 0。
1.3 有理数的加减法
有理数加法法则
同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。例如：(+3)+(+2)=+(3 + 2)=5；(-3)+(-2)=-(3 + 2)= -5。
绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得 0。例如：(+3)+(-2)=+(3 - 2)=1；(-3)+(+2)=-(3 - 2)= -1；3+( -3)=0。
一个数同 0 相加，仍得这个数。如 3 + 0 = 3。
有理数加法运算律
加法交换律：a + b = b + a 。例如：3 + 5 = 5 + 3 。
加法结合律：(a + b)+c = a+(b + c) 。例如：(2 + 3)+4 = 2+(3 + 4) 。
有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即 a - b = a + (-b) 。例如：5 - 3 = 5 + (-3)=2；5 - (-3)=5 + 3 = 8 。
1.4 有理数的乘除法
有理数乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。例如：3×2 = 6；(-3)×(-2)=6；3×(-2)= -6。
任何数与 0 相乘，都得 0。如 3×0 = 0。
几个不是 0 的数相乘，负因数的个数为偶数时，积为正；负因数的个数为奇数时，积为负。例如：(-2)×(-3)×(-4)= -24（3 个负因数，积为负）；(-2)×3×(-4)=24（2 个负因数，积为正）。
有理数乘法运算律
乘法交换律：ab = ba 。例如：3×5 = 5×3 。
乘法结合律：(ab) c = a (bc) 。例如：(2×3)×4 = 2×(3×4) 。
乘法分配律：a (b + c)=ab + ac 。例如：2×(3 + 4)=2×3 + 2×4 。
有理数除法法则
除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数。即 a÷b = a×\(\frac{1}{b}\) (b≠0) 。例如：6÷3 = 6×\(\frac{1}{3}\) = 2；6÷(-3)=6×(-\(\frac{1}{3}\)) = -2 。
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。例如：6÷3 = 2；(-6)÷(-3)=2；6÷(-3)= -2；0÷3 = 0 。
1.5 有理数的乘方
乘方的概念：求 n 个相同因数 a 的积的运算叫做乘方，记作\(a^n\) ，其中 a 叫做底数，n 叫做指数，\(a^n\) 的结果叫做幂。例如：\(2^3\) 中，2 是底数，3 是指数，\(2^3\) = 2×2×2 = 8 。
乘方运算的符号规律
正数的任何次幂都是正数。例如：\(2^2\) = 4，\(2^3\) = 8 。
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。例如：\((-2)^3\) = -8（奇次幂），\((-2)^2\) = 4（偶次幂）。
0 的任何正整数次幂都是 0。例如：\(0^2\) = 0，\(0^3\) = 0 。
科学记数法：把一个大于 10 的数表示成\(a×10^n\) 的形式（其中 1≤|a|＜10，n 是正整数），这种记数法叫做科学记数法。例如：123000000 = \(1.23×10^8\) 。
近似数：与准确数接近的数叫近似数。近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示。例如：3.14159 精确到 0.01 是 3.14 。
第二章 整式的加减
2.1 整式
单项式：由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。例如：3x、 -5、\(a^2\) 等都是单项式。单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母指数的和叫做这个单项式的次数。例如：3x 的系数是 3，次数是 1；\(-5a^2b\) 的系数是 -5，次数是 3 。
多项式：几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。例如：\(x^2 + 3x - 2\) 是多项式，它的项分别是\(x^2\)、3x、 -2，常数项是 -2，次数是 2 。
整式：单项式与多项式统称整式。
2.2 整式的加减
同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。例如：3x 与 5x 是同类项；\(2a^2b\) 与\(-3a^2b\) 是同类项。
合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。例如：3x + 5x = (3 + 5) x = 8x 。
去括号法则
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同。例如：+(3x + 2)=3x + 2 。
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。例如：-(3x - 2)= -3x + 2 。
整式的加减：整式的加减运算可归结为去括号和合并同类项。一般步骤是：先去括号，再合并同类项。例如：(2x^2 - 3x + 1)-(x^2 + 2x - 5)=2x^2 - 3x + 1 - x^2 - 2x + 5 = (2x^2 - x^2)+(-3x - 2x)+(1 + 5)=x^2 - 5x + 6 。
第三章 一元一次方程
3.1 从算式到方程
方程的概念：含有未知数的等式叫做方程。例如：3x + 5 = 14，\(\frac{2}{x}\) - 3 = 5 等都是方程。
一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是 1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。例如：2x - 3 = 7，\(\frac{1}{2}\) x + 1 = 3 等。
方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。例如：x = 5 是方程 2x - 3 = 7 的解。
等式的性质
等式性质 1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。如果 a = b，那么 a ± c = b ± c 。例如：若 x = 5，则 x + 2 = 5 + 2 。
等式性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等。如果 a = b，那么 ac = bc；如果 a = b (c≠0)，那么\(\frac{a}{c}\) = \(\frac{b}{c}\) 。例如：若 x = 6，则 3x = 3×6；若 2x = 10，则 x = \(\frac{10}{2}\) 。
3.2 解一元一次方程（一）—— 合并同类项与移项
合并同类项：把方程中含有相同未知数的项合并成一项，从而把方程转化为 ax = b（a≠0）的形式，再求解。例如：解方程 3x + 2x - 4x = 5，合并同类项得 (3 + 2 - 4) x = 5，即 x = 5 。
移项：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。移项的依据是等式的性质 1。例如：解方程 2x - 5 = 3x + 1，移项得 2x - 3x = 1 + 5，即 -x = 6，解得 x = -6 。
3.3 解一元一次方程（二）—— 去括号与去分母
去括号：方法与整式运算中的去括号类似，依据乘法分配律。注意括号前的符号，若括号前是 “+” 号，去括号后括号内各项不变号；若括号前是 “-” 号，去括号后括号内各项都变号。例如：解方程 3 (x - 2)+2 (4 - x)=5，去括号得 3x - 6 + 8 - 2x = 5 。
去分母：在方程两边同时乘以各分母的最小公倍数，去掉方程中的分母。注意不要漏乘不含分母的项。例如：解方程\(\frac{x - 1}{2}\) - \(\frac{2x + 3}{3}\) = 1，方程两边同时乘以 6 得 3 (x - 1)-2 (2x + 3)=6 。
3.4 实际问题与一元一次方程
列一元一次方程解应用题的一般步骤
审：审题，分析题目中的数量关系，找出已知量和未知量，以及它们之间的等量关系。
设：设未知数，一般有直接设未知数和间接设未知数两种方法。
列：根据等量关系列出方程。
解：解方程，求出未知数的值。
验：检验方程的解是否符合实际意义。
答：写出答案，包括单位。
常见的实际问题类型及等量关系
行程问题：路程 = 速度 × 时间，相遇问题：甲走的路程 + 乙走的路程 = 总路程；追及问题：快者走的路程 - 慢者走的路程 = 路程差。
工程问题：工作量 = 工作效率 × 工作时间，各部分工作量之和 = 总工作量。
销售问题：利润 = 售价 - 进价，利润率 = \(\frac{利润}{进价}\)×100% ，售价 = 进价 ×(1 + 利润率) 。
配套问题：生产的两种产品数量成比例，如生产螺栓和螺母，一个螺栓配两个螺母，则螺母数量 = 2× 螺栓数量 。
第四章 几何图形初步
4.1 几何图形
立体图形与平面图形
立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形。
平面图形：有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各部分都在同一平面内，它们是平面图形。许多立体图形是由一些平面图形围成的，将它们适当地剪开，可以展开成平面图形。例如：圆柱的侧面展开图是长方形，圆锥的侧面展开图是扇形。
点、线、面、体
体：几何体也简称体。长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等都是几何体。
面：包围着体的是面。面有平的面和曲的面两种。例如：长方体有 6 个平面，圆柱有 2 个平面和 1 个曲面。
线：面和面相交的地方形成线。线有直线和曲线之分。例如：长方体的棱是直线，圆柱侧面与底面相交的线是曲线。
点：线和线相交的地方是点。点动成线，线动成面，面动成体。例如：笔尖在纸上移动，形成一条线；汽车雨刷在挡风玻璃上摆动，形成一个面；直角三角形绕着一条直角边旋转一周，形成一个圆锥体。
4.2 直线、射线、线段
直线的性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简单说成：两点确定一条直线。例如：经过 A、B 两点只能画出一条直线。
射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线。射线有一个端点，向一方无限延伸。例如：手电筒射出的光线可近似看作射线。
线段：直线上两点和它们之间的部分叫做线段。线段有两个端点，可以度量长度。两点的所有连线中，线段最短。简单说成：两点之间，线段最短。例如：从 A 地到 B 地，走直线距离最短，即线段 AB 最短。
线段的中点：点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段 AM 与 MB，点 M 叫做线段 AB 的中点。此时 AM = MB = \(\frac{1}{2}\) AB 。类似的还有线段的三等分点、四等分点等。
4.3 角
角的概念
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。例如：∠AOB 中，O 是顶点，OA、OB 是边。
角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。
角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位。1 周角 = 360°，1 平角 = 180°，1° = 60′，1′ = 60″ 。例如：30.5° = 30°30′ 。
角的比较与运算
角的比较：可以用量角器量出角的度数，然后比较大小；也可以将两个角的顶点及一条边重合，另一条边放在重合边的同侧，通过观察另一条边的位置来比较大小。
角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。例如：OC 是∠AOB 的平分线，则∠AOC = ∠BOC = (\frac {1}{2}\
来源：小月课堂