摘要：标准方程：\((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2\)（\((x_0,y_0)\)为圆心，r为半径），需熟练提取圆心坐标与半径（如第 5 题，圆\(x^2 + (y + 2)^2 = r^2\)的圆心为\((0,-2)\)）。点到直线

一、圆的相关知识

圆的方程与基本量

标准方程：\((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2\)（\((x_0,y_0)\)为圆心，r为半径），需熟练提取圆心坐标与半径（如第 5 题，圆\(x^2 + (y + 2)^2 = r^2\)的圆心为\((0,-2)\)）。

点到直线距离公式：圆心\((x_0,y_0)\)到直线\(Ax + By + C = 0\)的距离\(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\)，是判断直线与圆位置关系的关键（如第 5 题，计算圆心到直线\(y = \sqrt{3}x + 2\)的距离\(d = 2\)，结合距离与半径关系确定r的范围；第 10 题，用距离公式求圆心到直线\(x - y + 6 = 0\)的距离，结合弦长公式求半径r）。

直线与圆的位置关系

弦长公式：直线与圆相交时，弦长\(|CD| = 2\sqrt{r^2 - d^2}\)（d为圆心到直线的距离），需结合已知弦长列方程求解参数（如第 10 题，由\(|AB| = 3|CD|\)得\(|CD| = 2\sqrt{2}\)，代入弦长公式解得\(r = 2\)）。

圆上点到直线的距离问题：根据 “圆心到直线距离d、半径r与点到直线距离h” 的关系判断点的个数：当\(|d - h|

二、椭圆的相关知识

定义：平面内到两焦点距离之和为2a（\(2a > 2c\)，2c为焦距）的点的轨迹，核心关系\(a^2 = b^2 + c^2\)（a为长半轴，b为短半轴，c为半焦距），离心率\(e = \frac{c}{a}\)（\(0

方程求解：已知离心率、长轴长、焦点坐标等条件，可联立a、b、c的关系求标准方程（如第 12 题 (1)，由 “\(2a = 4\)” 得\(a = 2\)，\(e = \frac{\sqrt{2}}{2}\)得\(c = \sqrt{2}\)，进而\(b^2 = 2\)，椭圆方程为\(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{2} = 1\)；第 15 题 (1)，由焦点\((2,0)\)得\(c = 2\)，\(b^2 = 5\)得\(a = 3\)，离心率\(e = \frac{2}{3}\)）。

椭圆的几何性质与应用

点与椭圆的位置关系：将点坐标代入椭圆方程，若\(\frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} = 1\)，则点在椭圆上（如第 15 题 (2)，由向量关系\(\overrightarrow{PA} = 2\overrightarrow{MP}\)求得\(P(\frac{4}{3}, \frac{2m}{3})\)，代入椭圆方程解得\(m = \sqrt{10}\)）。

直线与椭圆的位置关系：联立直线与椭圆方程，消元后利用判别式\(\Delta\)判断：\(\Delta > 0\)（相交）、\(\Delta = 0\)（相切）、\(\Delta

角度与向量结合：若\(\angle CMD\)为钝角，则\(\overrightarrow{MC} \cdot \overrightarrow{MD} \sqrt{5}\)得取值范围\((\sqrt{5}, \sqrt{11})\)）。

椭圆中的距离与面积问题

焦点弦与距离公式：利用两点间距离公式\(|AB| = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}\)，结合韦达定理简化计算（如第 11 题 (2)，设直线\(l: x = t(y + 2)\)，联立椭圆方程得\(y_1 + y_2\)、\(y_1y_2\)，代入面积公式\(S = \frac{1}{2} \times |2t| \times |y_1 - y_2|\)，解得t后求\(|AB|\)）。

面积比值与角度关系：通过三角形面积公式\(S = \frac{1}{2}|OA||OB|\sin\theta\)，若\(\angle AOM = \angle BOM\)，则\(\frac{S_1}{S_2} = \frac{|OA|}{|OB|}\)（如第 12 题 (2)，用斜率夹角公式证明\(\tan\angle AOM = \tan\angle BOM\)，进而得面积比值与距离比值相等）。

三、双曲线的相关知识

定义：平面内到两焦点距离之差的绝对值为2a（\(2a 1\)）。

方程与离心率求解：先将双曲线方程化为标准形式\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)（焦点在x轴），提取\(a^2\)、\(b^2\)后求c与e（如第 1 题，由 “虚轴长是实轴长的\(\sqrt{7}\)倍” 得\(b = \sqrt{7}a\)，\(c = 2\sqrt{2}a\)，\(e = 2\sqrt{2}\)；第 2 题，将\(x^2 - 4y^2 = 4\)化为\(\frac{x^2}{4} - y^2 = 1\)，得\(a = 2\)、\(c = \sqrt{5}\)，\(e = \frac{\sqrt{5}}{2}\)）。

双曲线的几何性质

渐近线：焦点在x轴的双曲线渐近线为\(y = \pm \frac{b}{a}x\)，渐近线与圆的交点问题可联立方程求解（如第 7 题，以\(F_1F_2\)为直径的圆方程为\(x^2 + y^2 = c^2\)，与渐近线\(y = \frac{b}{a}x\)联立得\(M(a, b)\)，结合角度条件\(\angle NA_1M = \frac{5\pi}{6}\)，推导\(\frac{b}{a} = 2\sqrt{3}\)，离心率\(e = \sqrt{13}\)）。

与抛物线结合：利用双曲线定义（\(|PF_1| - |PF_2| = 2a\)）与抛物线定义（抛物线上点到焦点与准线距离相等），联立已知条件求离心率（如第 6 题，由\(|PF_1| + |PF_2| = 3|F_1F_2| = 6c\)，结合双曲线定义得\(|PF_1| = 3c + a\)、\(|PF_2| = 3c - a\)，再由勾股定理与点在双曲线上的条件，解得\(e = 2\)）。

四、抛物线的相关知识

抛物线的定义与基本量

定义：平面内到焦点与准线距离相等的点的轨迹，标准方程\(y^2 = 2px\)（\(p > 0\)，焦点\((\frac{p}{2}, 0)\)，准线\(x = -\frac{p}{2}\)），核心量p（顶点到焦点距离为\(\frac{p}{2}\)）。

p的求解：由 “顶点到焦点距离”“焦点坐标” 等条件直接求p（如第 9 题，顶点到焦点距离为\(\frac{p}{2} = 3\)，得\(p = 6\)；第 4 题，由直线BF方程\(y = -2x + 2\)得焦点\(F(1, 0)\)，故\(\frac{p}{2} = 1\)，\(p = 2\)，抛物线方程为\(y^2 = 4x\)）。

抛物线的几何性质与应用

焦半径公式：抛物线上点\(A(x_1, y_1)\)到焦点的距离\(|AF| = x_1 + \frac{p}{2}\)（如第 4 题，\(A(4, 4)\)，\(|AF| = 4 + 1 = 5\)；第 8 题 A 选项，由抛物线定义，\(|AD|\)（点到准线距离）等于\(|AF|\)（点到焦点距离））。

焦点弦问题：设过焦点的直线方程（斜率存在时设\(x = my + \frac{p}{2}\)，避免斜率不存在的讨论），联立抛物线方程，利用韦达定理求焦点弦长度\(|AB| = x_1 + x_2 + p\)（如第 8 题 C 选项，联立\(x = my + \frac{3}{2}\)与\(y^2 = 6x\)，得\(y_1 + y_2 = 6m\)，\(|AB| = 6m^2 + 6 \geq 6\)）。

垂直关系与直角三角形：过焦点且与焦点弦垂直的直线，可结合斜率乘积为\(-1\)求方程，再证明直角三角形（如第 8 题 B 选项，证明\(\angle AEB = 90^\circ\)，故\(|AE|

五、直线与曲线的综合问题

直线方程与斜率

直线方程形式：根据条件选择斜截式\(y = kx + b\)、点斜式\(y - y_0 = k(x - x_0)\)或参数式（如第 11 题 (2)，设直线\(l: x = t(y + 2)\)，避免斜率不存在的讨论；第 14 题 (2)，设直线\(PB: y = kx + m\)，由点\(P(2,1)\)得\(m = 1 - 2k\)）。

中垂线性质：线段中垂线的斜率与线段斜率乘积为\(-1\)，且过线段中点（如第 15 题 (3)，AM的斜率为\(-\frac{1}{2}\)，故中垂线斜率为 2，结合中点\((\frac{a}{2}, \frac{a}{4})\)得中垂线方程\(y = 2x - \frac{3}{4}a\)）。

韦达定理的应用

联立直线与曲线方程，消元后得一元二次方程，利用韦达定理\(x_1 + x_2 = -\frac{B}{A}\)、\(x_1x_2 = \frac{C}{A}\)，简化距离、面积、向量数量积等计算（如第 11 题 (2)，用\(y_1 + y_2\)、\(y_1y_2\)求\(|y_1 - y_2|\)；第 15 题 (3)，用\(x_1 + x_2\)、\(x_1x_2\)代入\(\overrightarrow{MC} \cdot \overrightarrow{MD}

角度平分线证明

方法：①向量夹角公式（计算两角余弦值相等，如第 14 题 (2) 法一，\(\cos\angle BFP = \cos\angle PFA\)）；②斜率夹角公式（计算两角正切值相等，如第 14 题 (2) 法二）；③点到直线距离相等（角平分线上的点到角两边距离相等，如第 14 题 (2) 法四，点P到FB与FA的距离均为 1）。

来源：小蜗牛漫步