6个本该如雷贯耳的数学家，却没有得到应有的认可

摘要：最伟大的数学家往往会因为他们所在领域中完成的许多发现而获得功劳。但也有一些数学家，他们没有得到应有的认可，甚至在那些大名鼎鼎的人物之间被忽略了。

最伟大的数学家往往会因为他们所在领域中完成的许多发现而获得功劳。但也有一些数学家，他们没有得到应有的认可，甚至在那些大名鼎鼎的人物之间被忽略了。

第一位：勒让德（Adrien-Marie Legendre）

勒让德涉猎广泛，研究过分析学、几何学和数论。他研究了如今以他名字命名的勒让德多项式（Legendre polynomials），

并在椭圆积分方面做出了大量工作，这些成果后来被数学家阿贝尔（Abel）和雅可比（Jacobi）加以完善并超越。

当然，他有很多工作，但他最著名的贡献是在 1805 年提出了最小二乘法准则（least squares criterion），用于曲线拟合，这一方法是在计算彗星轨道的背景下发展出来的。

假设有一些点：(1, 2)、(4, 4)、(7, 4)、(8, 5)，并想用一条直线去预测它们的走势。

试试直线 y=x+1。残差分别是 0、-1、-4 和 -4。把这些残差平方后加起来，结果是 33，这就是残差平方和（Residual Sum of Squares, RSS）。

再试试

残差分别是 0、1/2、-1 和 −1/2。这次的残差平方和是 3/2。

因为 3/2小于 33，所以按照勒让德的准则，第二条直线拟合效果更好。

这个例子只是最小二乘法原理的一个数值演示，展示了勒让德准则如何从所有可能的模型中选出最佳拟合曲线。当然，我们这里使用的是线性模型，但这一原理完全可以推广到指数、对数以及振荡模型中。

虽然勒让德最先明确提出了这个准则，但几年后，高斯（Gauss）在研究谷神星（Ceres）的椭圆轨道时，结合概率论重新提出了这一方法，因此后世往往将更多的功劳归于高斯。

第二位：韦达（François Viète）

韦达的代表作是《解析艺术导论》（Introduction to the Analytic Art），他在其中首次将古希腊几何与源自伊斯兰数学的代数方法结合起来，为代数化的几何研究奠定了基础。

想象一个直角三角形，假设你知道斜边的长度以及一条直角边的长度，而另一条直角边是未知的。

韦达的创新在于，他用符号而不是具体数字来表示所有的已知量和未知量。他用辅音字母表示已知量，用元音字母表示未知量。因此，他不会立即代入实际数字，而是用一般形式表达勾股定理的关系：

未知边A的平方加上已知边B的平方等于斜边C的平方：由此可以解得：

这对现代人来说似乎显而易见，但在韦达的时代，能用代数的方法以通用形式表达几何关系，是一个巨大的飞跃。更重要的是，他并不仅仅停留在代数层面，还展示了如何用尺规作图来构造边长 aaa，将代数结果转化为几何图形。

一代人之后，笛卡尔（René Descartes）通过引入坐标几何和更规范的符号系统，使得代数化几何的研究成为主流。同时，费马（Pierre de Fermat）也独立发展了解析几何。由于笛卡尔和费马的记号和坐标方法逐渐成为标准，历史学家往往将解析几何的创始人头衔归于他们，而韦达则被视为他们的先驱。

第三位：博尔查诺（Bernard Bolzano）

博尔查诺是最早推动数学分析走向严谨化的人之一。1817 年，他证明了介值定理（intermediate value theorem）的早期版本。

比如有一个连续函数 f(x)，并选取一个值y=s。标记出曲线与直线 f(x)=s 相交的点。换句话说，就是在某一点 f(x)s 时，函数必定会在这两点之间某处穿过 f(x)=s 这条直线。

当时，数学家们普遍认为，连续函数除了在某些孤立点上不可导之外，其他地方必定是可导的。但博尔查诺在 1830 年代构造了一个反例，即现在称作博尔查诺处处不可导函数（Bolzano's nowhere differentiable function）。

遗憾的是，他从未发表这个例子，因此直到多年后，历史学家从他的手稿中重建这一函数之前，没有人知道它的存在。如今，它被认为是第一个处处连续但处处不可导的函数，比魏尔施特拉斯（Weierstrass）在 1872 年提出的著名例子早了三十多年。

第四位：库默尔（Ernst Eduard Kummer）

库默尔在函数论和代数几何等多个领域都有重要贡献，但他最伟大的发现是在数论中。库默尔最初希望将高斯（Gauss）首先证明的二次互反律（quadratic reciprocity law）推广到更高的幂。

设 P 和 Q 是不同的奇素数，并定义勒让德符号（Legendre symbol）：

二次互反律表明：

举个例子：令 p=13、q=3。

步骤 1：分别计算勒让德符号

(3/13)：检查 3 是否是模 13 下的平方。

1² ≡ 1 (mod 13)
2² ≡ 4 (mod 13)
3² ≡ 9 (mod 13)
4² = 16 ≡ 3 (mod 13)
6² = 36 ≡ 10 (mod 13)

因为 4² = 16 ≡ 3 (mod 13)，所以：(3/13) = 1

(13/3)：检查 13 是否是模 3 下的平方。

1² ≡ 1 (mod 3)
2² = 4 ≡ 1 (mod 3)
3² = 9 ≡ 0 (mod 3)
...
13² = 169 ≡ 1 (mod 3)

因此，n² ≡ 1 (mod 3) 有解 (n ≡ 1, 2)，所以：(13/3) = 1

步骤 2：将它们相乘

步骤 3：二次互反律

对于奇素数 p, q：

当 p = 13, q = 3 时：

这验证了公式的正确性。当然，这不是严格证明，只是对该定律在特定情形下的验证。

库默尔试图将这一法则推广到更高幂（如三次、四次、五次等）。要做到这一点，必须先理解整数分解的唯一性：

任何整数都可以唯一地分解为素数的乘积（忽略顺序和 ±1 的因子）。

这个思想可以推广。例如，考虑高斯整数（Gaussian integers），即所有形如 a+bi的复数，其中 a，b是整数。在这个数系中，5 不是素数，因为：5=(1+2i)(1−2i)

然而，3 依旧是素数，因为唯一可能的分解是：

但问题是根号2不是整数，因此这些因子并不是高斯整数。

有趣的是，高斯整数也有唯一分解的性质：任何高斯整数都可以被唯一地分解为不可再分解的“质因子”。

有些环并不具备唯一分解性质。一个例子是环 Z[√−5]，其中的数可以写成 a + b√−5 的形式，a, b ∈ Z。

取 6 = 2·3 = (1 + √−5)(1 − √−5)。我们刚刚将它分解成了该环 Z[√−5] 中的两组不同元素的乘积。

这在当时阻碍了证明费马大定理（Fermat's Last Theorem）的早期尝试，因为当时的方法是将方程放入某个整数的扩展环中，再利用唯一分解性质进行推导。但如果唯一分解不成立，这种方法就失去了意义。

库默尔提出了一个巧妙的解决方案：虽然在一般的整数环中没有唯一分解，但可以引入理想数（ideal numbers）的概念，把整数环中的元素唯一地分解成这些理想数的乘积。在Z[√−5]的例子里，用理想数替代原来的质数，唯一分解就得以恢复。

几十年后，理查德·戴德金（Richard Dedekind）推广了这个概念，正式引入了理想（ideals），并严格证明了理想的唯一分解性质。满足这种性质的环如今被称为戴德金整环（Dedekind domains），它们是库默尔“理想质数”思想的直接继承者。

第五位：西尔维斯特（James Joseph Sylvester）

西尔维斯特是 19 世纪的代数学家，他做出了多方面的重要贡献。其中最著名的，是他与凯莱（Arthur Cayley）一起，开创了现代不变量理论（invariant theory）以及相关的协变（covariance）概念。更具体地说，他们专注于设计方法来显式求出二元形式（binary forms）的不变量和协变，并研究它们之间的代数关系，也就是所谓的syzygies（结式）。