数学定律到底是什么？那些“永远成立”的神奇公式大揭秘

摘要：数学里的定律指的是在给定上下文中总成立的公式或规则，它们描述着数学表达式或变量之间的关系，通常用等式、不等式表示，有时也会说明公式之间的逻辑联系。

什么是数学定律？unset

数学里的定律指的是在给定上下文中总成立的公式或规则，它们描述着数学表达式或变量之间的关系，通常用等式、不等式表示，有时也会说明公式之间的逻辑联系。

比如公式，不管把换成哪个实数，这个不等式永远成立，这就是定律的特点。

如果定律里用了等号，我们就叫它"恒等式(identities)。像和都是恒等式，在它们的适用范围内，怎么换都成立。

注意！数学定律和科学定律可不是一回事。科学定律靠观察和实验，描述自然现象；数学定律则是靠逻辑推理证出来的，不用实验验。数学里那些特别重要的定律，通常被叫做"定理"。

数学里的定律和定理，虽说都是真理，但有点小区别。定律很多都是简洁基本规则（比如交换律、分配率、德摩根定律），可能是观察归纳出来的，也可能是证出来的，讲的是数学对象间的基础关系；定理则是从公理或已知结果里，靠严格推理证出来的结论，结构往往更复杂，带明确条件和推论，算是更重要、深刻的成果（比如勾股定理、费马大定理）。

unsetunset几何定律：空间的规则unsetunset

三角不等式(triangle inequality)

如果、、是三角形三条边的长，三角不等式告诉我们：

意思是，任何一条边的长度，都不会超过另外两条边的和。只有当三角形"扁"成一条线（面积为零）时，等号才成立。

放到更广义的欧几里得几何里，三角不等式能用向量表示：

也就是说，两个向量加起来的长度，不会比两者长度之和还长。

勾股定理(pythagorean theorem)

勾股定理大概是数学里最出名的数学定理之一了。如上图所示直角三角形里，斜边上的正方形面积等于另外两条直角边上的正方形面积之和。用公式写就是：

这里和是直角边长，是斜边长。

unsetunset三角恒等式unsetunset

三角恒等式是关于正弦、余弦这些角度函数的等式。它们和三角形恒等式不一样——后者讲的是三角形角度和边长的关系，而三角恒等式只和角度有关。

在数学、物理和工程里，三角恒等式特别重要。它们能帮我们简化复杂表达式，解积分题，分析周期性现象。

最基础的三角恒等式是，不管是多少度，这式子都成立。反观，就只在特定角度（比如）才成立，换个角度（比如）就不对了。

另一组重要的是涉及加或减的公式，比如二倍角公式、，把 “大的角” 的三角函数，拆成 “小的角” 的来算，尝试让复杂问题变简单些。

unsetunset代数定律unsetunset

柯西-施瓦茨不等式：向量的内积约束

柯西-施瓦茨不等式应该是数学里应用超广的不等式之一了。它给内积空间里两个向量的内积划了个上界：

这里是向量和的内积，和是它们的长度（范数）。

意思是说，两个向量内积的绝对值，不会超过它们长度的乘积。只有当两个向量成倍数关系（线性相关）时，等号才成立。

unsetunset组合定律：计数的智慧unsetunset

鸽巢原理：简单却深刻

鸽巢原理看着特简单：如果你有个东西要放进个容器，而且，那至少有一个容器里得装不止一个东西。

比如你有三只手套（都不能正反戴），那至少有两只得是同一只手的——不是两只右手，就是两只左手。因为手套只有左右两种，三只里肯定有重复。

unsetunset逻辑定律unsetunset

德摩根定律：否定的艺术

在逻辑学和布尔代数里，德摩根定律是处理"否定"的好工具：

非（或）= （非）且（非）非（且）= （非）或（非）

用符号写就是：

这里是"非"，是"且"，是"或"。

思维三定律：逻辑的基础

思维三定律是形式逻辑的基本原则：

同一律(law of identity) ：任何事物都等于它自己。简单说，对所有：。矛盾律(law of non-contradiction) ：没什么东西能"既是又不是"。一个命题不能同时为真又为假。排中律(law of excluded middle) ：任何事物要么是，要么不是，没有中间态。对任何命题，要么真，要么（非 A）真：。