摘要：Rachel:非常感谢大家给我这个机会，也感谢能有机会跟其他项目的老师同学们交流。如果我没理解错的话，我的任务是做一个关于“什么是粒子理论”这次会议上我们所讨论内容的报告。这个报告需要有一定的代表性，并且要尽量通俗易懂。这里有个问题，“什么是粒子理论”本身就不

Rachel: 非常感谢大家给我这个机会，也感谢能有机会跟其他项目的老师同学们交流。如果我没理解错的话，我的任务是做一个关于“什么是粒子理论”这次会议上我们所讨论内容的报告。这个报告需要有一定的代表性，并且要尽量通俗易懂。这里有个问题，“什么是粒子理论”本身就不是一个简单的话题，它涉及到很多不同的方面。所以这次会议就显得很有意思，因为它把研究粒子理论各个不同方向的人们都聚集到了一起。

在过去的几十年里，粒子理论这个领域发展非常迅猛，现在已经跟天体物理学、宇宙学、弦理论、低能凝聚态物理学等多个学科都有了交叉和联系。如果我试图把我们目前为止听到的所有内容都概括出一个具有代表性的观点，那就太不自量力了。因为这些内容包括了暗物质的本质、格点量子色动力学（QCD）、散射振幅背后隐藏的数学结构等等。所以，我今天打算选一个方面，深入地探讨一下我认为是这次会议上许多报告都共有的一条主线。这个问题就是：在实验数据不足的情况下，我们能从“一致性条件”中获得关于粒子物理学理论的哪些信息？

另外，我想说的是，做这种综述报告的好处就是，基本上我讲的每一点，都很可能在座的各位有人比我更专业。所以，非常欢迎大家随时提问和讨论。为了给大家提供一些背景知识，我先简单介绍一下所谓的 S 矩阵理论。它大概是在 20 世纪 50 年代末期开始兴起的。这跟当时人们认识到的一件事有关：当你试图把量子力学和狭义相对论结合起来的时候，你会发现你的理论并不是随心所欲的，而是会受到一些非常强的约束。

所以，那时人们就抱有一种希望，觉得也许可以主要依靠理论自身的自洽性，再加上一些额外的实验数据，就能把相对论性的量子场论给解出来。但现在看来，这种想法确实是过于乐观了。我们现在知道，一般来说，量子场论并不是唯一的，而是存在着大量满足条件的量子场论。这个目标在共形场论中更容易实现，因为共形场论具有更多的对称性，可以对理论施加更强的约束。

所以在量子场论中，这个目标并没有真正完全实现。而且，另一个障碍在于，我们仍然没有完全理解那些应该用来约束这些理论的全部基本原理。不过，我们能做的是，我们可以去研究那些相容的场论所存在的“可能性空间”。这意味着，我们可以回答这样一些问题：比如说，我的低能理论是否允许一个自洽的高能完备化？我能不能对我的低能有效理论中的那些系数给出一些限制？还有，我能从我的理论中的粒子谱（也就是不同粒子的种类和性质）了解到什么？

这些问题都是可以回答的，只要我们对理论给定一组特定的一致性假设。我稍后会详细介绍这些假设。为了回答刚才那些问题，我今天重点关注的是因果性约束。因果性有很多种不同的表现形式，而且实际上，有很多不同类型的约束条件都被称为“因果性约束”。

在量子场论中，我们所说的因果性，其实指的是“微观因果性”。它的意思是说，如果我有两个算符，它们在空间上是分开的（也就是它们之间是类空间隔），那么这两个算符的对易关系应该是零。用数学的语言来说，就是对于 x₁ 和 x₂，如果它们满足类空间隔，那么：

这里的方括号表示对易子。实际上，你可以把微观因果性看作是洛伦兹不变性的一个推论，尤其是“时间排序”的洛伦兹不变性的推论。可以想象一下，如果你想对两个算符进行时间排序，比如说 O₁ 和 O₂ 这两个算符，它们处于类空间隔的两个点上，我可以做一个洛伦兹变换来改变这两个算符的时间顺序。所以，除非这两个算符彼此对易，否则我没办法用一种洛伦兹不变的方式来定义时间排序。

我们通常用量子场论来做什么呢？最终的目的通常是计算散射振幅。所以你可能会问，这种微观因果性在散射振幅中是怎么体现出来的？换句话说，如果有人给你一个散射振幅的表达式，你怎么知道产生这个振幅的那个理论，实际上是满足微观因果性条件的？

为了更好地理解这一点，我们来看一个简单的模型，叫“信号模型”。你可以把它想象成一个只有时间维度（0+1 维）的散射问题。假设你有一个初始信号，记作 ψ_{in}(t)，它是时间 t 的函数；还有一个散射出去的信号，记作 ψ_{out}(t)，它也是时间 t 的函数。这两个信号之间通过下面的关系联系起来：

这里的积分是对所有的时间 t' 进行的。我们可以把 s 看作是描述这个信号与某个背景相互作用的“散射矩阵”。因果性要求，如果对于所有的 t' t

观察一下上面这个表达式，你就知道这意味着 s(t) 在 t

听课人: 这里有人提问。

Rachel: 是的。

听课人: 我只知道这个结论是量子场论中洛伦兹不变性的一个推论。

Rachel: 我认为，只要理论是满足局域洛伦兹不变性的，这个结论通常都成立。但是你可以破坏洛伦兹不变性，比如说，通过构造某种在时间上具有特殊对易关系的理论。因为这是关于时间排序的。但我仍然可以区分空间，让洛伦兹群变得不同，这样仍然没问题。

所以，我认为局域性的要求比单单这个结论要强得多。

听课人: 很好。我有一个问题，只是出于好奇。那些已经被实验观测到的贝尔不等式的违背，对于因果性等等有什么影响呢？

Rachel: 贝尔不等式的违背，并不会让你能够发送超光速信号，或者影响到与你处于类空间隔的另一个物体。所以，它并没有违背我们这里所说的因果性。你可能会担心的是，如果你有一些量子纠缠态，那么“簇分解”（cluster decomposition）可能会有问题，这是一个更微妙的问题。但是量子纠缠本身，并不能让你影响到类空间隔的另一个物体。

即使两个物体之间存在量子纠缠，你也不能在这边做个测量，然后瞬间影响到那边的测量结果。但是标准的量子力学是预言了贝尔不等式的。

听课人: 对吧？

Rachel: 嗯。现在我们看到实验结果违背了贝尔不等式。

听课人: 那么，你必须放弃标准量子力学的哪一个假设，才能解释实验观测到的贝尔不等式的违背呢？是什么？

Rachel: 你具体指的是什么？

听课人: 我跟一些做凝聚态物理的老师同学交流过，他们做了很多实验，实验结果跟用普通量子力学方程推导出来的结果不符。也就是说，在某些情况下，量子力学被违背了。

所以，如果你想解释贝尔不等式的违背，你可能需要放弃一些量子力学推导过程中用到的假设。

Rachel: 好吧。我不是贝尔不等式方面的专家。

但是，谢谢。你说得很对。好的。但是我认为这个问题我们可以先放一放，让 Rachel 继续讲。

Rachel: 好的。为了说明这个简单的结论，如果我把这个 0+1 维的 S 矩阵用它的傅里叶变换来表示：

那么我们要求的是：

这可以写成：

你可以立即看出，如果 s(ω) 随着 ω 的虚部趋于无穷大时，增长得比指数函数慢，那么我可以通过在上半复平面上做一个闭合的围道积分来计算这个积分。

这样积分结果就会趋于 0。而 s(t) = 0 这个结论，实际上就等价于说，s(ω) 这个函数应该在上半复平面上是“解析”的。也就是说，它不应该包含任何极点、分支切割或者其他不规则的东西。所以，如果 s(ω) 增长得比指数函数慢，我们就可以得出结论，s(ω) 在上半复平面上一定是解析的。

所以我们得到这样一个概念：因果性在散射振幅中表现出来的方式，跟散射振幅作为复变函数的解析性有关。这里需要强调一下，这些 ω，也就是能量，它们本身总是实数变量，但是我这里做的是，假设我可以把它们解析延拓到整个复平面上，然后去研究散射振幅在复平面上的性质。我还要补充一下，除了因果性之外，幺正性也意味着一个额外的约束条件。不过，我们先来看因果性。

我们刚才做了这个假设。你可能会问这个假设是不是合理。实际上，我们知道，对于幺正的、相对论性的场论，散射振幅是“多项式有界”的，也就是说 s(ω) 随着 |ω| 增大，最多只能按照 |ω| 的某个幂次增长。这个性质本身，跟底层理论的局域性是有关系的。

关于信号模型，我再补充一点。我们可以通过引入幺正性，得到信号模型的进一步约束。如果我按照通常的方式定义信号的“模”：

那么幺正性意味着，出射信号的模长必须始终小于或等于入射信号的模长。不难证明，这意味着散射矩阵 s 的模长必须小于或等于 1：

所以在信号模型中，我们通过这种方式得到了额外的约束。在 20 世纪 50 年代和 60 年代，人们已经能够证明一些非常严格的数学定理。

听课人: 有人要提问。

Rachel: 哦，是的。

听课人: 抱歉。这个解析性是在上半平面。这只有在你同时假设它是解析的，也就是说没有分支切割的情况下才成立, 对吧？

Rachel: 对的。你可能会发现积分仍然是 0，即使上半平面有分支切割，但这时你就不能用留数定理了，所以它不是解析的。

听课人: 很好。你可以证明这两件事是因果性条件成立的充分必要条件。允许存在极点和分支切割，但是它们必须恰好位于实轴上。事实上，人们经常用一个小的虚部 iε 把这些极点和分支切割稍微推到实轴下方一点。但是说上半平面没有极点和分支切割，是 s(t) = 0 的充分必要条件。

所以... 也许这只是复变函数中的一个定理，就是说你不可能在上半平面有分支切割，同时积分还等于 0？

Rachel: 没错。

听课人: 抱歉，为了更清楚地说明，应该是输出信号的模长小于或等于输入信号的模长。

Rachel: 我只是把模长定义成场的普通的 L2 范数。

听课人: 当然，你在用这个范数是正的，对吧？

Rachel: 是的。是的，所以没问题。

它是正的。好的。

非常好。在 20 世纪 50 年代和 60 年代，人们已经能够证明一些严格的定理，把底层量子场论的微观因果性和散射振幅的解析性联系起来。特别是 S 矩阵的解析性。那么为什么这很有用呢？

这对约束我们的物理理论有什么意义？通常我们会考虑 2 到 2 的散射过程，也就是两个粒子入射，散射成两个粒子出射。我们把散射振幅记作 A(s, t)，稍后我会解释这个记号。具体来说，我们考虑的是两个相同的、满足相对论的、有质量的粒子的 2 到 2 散射。

散射过程可以这样表示：我们有两个粒子入射进来，它们的四动量分别记作 p₁ 和 p₂；还有两个粒子散射出去，四动量分别记作 p₃ 和 p₄。我们对散射中间具体发生了什么不做任何假设。用所谓的曼德尔斯坦（Mandelstam）不变量来描述这类问题是很方便的。

我来简单地定义一下这些不变量。s 是质心系能量的平方，定义为：

其中 m 是我们考虑的同种粒子的质量，k 是质心系中的动量大小。我们还有：

其中 θ 是散射角。另外还有一个：

u 并不是一个独立的变量，它可以用 s 和 t 来表示，至少在四个时空维度下是这样：

所以，我们习惯于用这些不变量 s 和 t 来对散射振幅进行分类。但是你可以把它们看作是动量大小和散射角 θ 的另一种表示。这就是我们在 s 和 t 中所包含的信息。

S 矩阵是这样一个量，记作 Ŝ。通常，我们把没有发生散射的那一部分（也就是单位矩阵 I）单独拿出来，把 Ŝ 写成：

这样，在末态和初态之间，T 矩阵可以表示成：

= (2π)⁴ δ⁴(p₁ + p₂ - p₃ - p₄) A(s, t)

其中我们加入了一个四维 δ 函数来表示能量-动量守恒。这里的 A 就是我们的 2 到 2 散射振幅。

我们想要施加的条件如下。我们要求散射振幅 A(s, t) 是解析的，也就是说它所有的极点和分支切割都必须位于实轴上，并且对应于真实的物理过程。我们要求多项式有界性。我们还要求幺正性、洛伦兹不变性和“交叉对称性”。

你可以把交叉对称性理解成这样：如果我把图中两个出射粒子的箭头反过来，那么散射振幅在这个操作下基本上是完全对称的。我们可以利用这一点来联系不同的曼德尔斯坦变量。

听课人: 有人提问。这个多项式有界性是不是会随着散射粒子数目的增加而失效？比如说，一个 n → n 的散射振幅，是不是能被一个跟 1 → 1 或者 2 → 2 散射振幅相同的多项式所界定？

Rachel: 不是的。多项式有界性应该跟粒子的数目无关。它不是只对 2 → 2 散射成立。

听课人: 在凝聚态物理中，我们通常会说，多体态密度最终会变成指数形式。

Rachel: 我明白你的意思。你的希尔伯特空间是 2 的 n 次方，其中 n 是量子比特的数目，它跟体系体积成正比。

我的理解是，多项式有界性是公理化量子场论的一个推论，它跟怀特曼（Wightman）函数的局域支撑性或者说局域基有关。由此可以推出，散射振幅必须是多项式有界的。不过也许有这方面的专家更了解细节。

听课人: 这里说的只是多项式的阶数，对吧？这个阶数 n 会随着粒子数目的增加而增长。

Rachel: 哦，那当然是对的。是的。抱歉，这绝对没错。但是对你来说，同样重要的是，如果它呈指数增长，那么解析性也会被破坏。因为这对解析性很重要，就是这个 s(ω)，而不是指数增长。是的，没错。没错。好的。

作为这个框架的一个具体应用，我来考虑一个例子，正是这个例子重新激发了人们对这类有效场论约束条件的兴趣，那是 2006 年的一篇文章。作者是 Adams, Arkani-Hamed, Dubovsky, Nicolis, 和 Rattazzi。他们考虑的是在前向极限下的 2 到 2 散射。

所谓“前向极限”的意思是 t 趋近于 0，或者等价地说，散射角 θ 趋近于 0。在这个极限下，可以引用 Froissart 界，它告诉我们多项式有界性的阶数实际上可以限制为 2。也就是说 n = 2。这是对于有质量的粒子而言的。

在这种情况下，四个相同的有质量粒子的 2 到 2 散射振幅，会有一些极点，位于 s = m² 处。现在我考虑的是在 s 复平面上的解析性。所以会有一个对应于 s = m² 的极点。这是当你的其中一条内线处于“在壳”（on-shell）状态时的情况。还有一个极点位于 s = 3m²，这其实是同一个极点，只不过是来自于 u 道。另外还有分支切割。

会有一个右侧的分支切割，从 4m² 开始，还有一个左侧的分支切割，从 0 开始。如果我把这个图像画出来，大概是这个样子：

[示意图：s 复平面，在 m² 和 3m² 处有极点，从 4m² 开始向右有一个分支切割，从 0 开始向左有一个分支切割]

这是 s 轴。我在这里有一个极点，这里有一个极点，这里开始有一个分支切割，这里也有一个分支切割。

这篇论文的作者所做的是，他们考虑了这样一个沿着特定路径进行的积分：

这里的积分路径要包围住 m²、3m²，以及某个新的能标 M² 处的极点。大概是这个样子：

[示意图：在刚才的图上加上一个围绕 m², 3m², M² 的闭合围道]

如果我把 M² 放在这里，它会包围住这些极点。这个积分，我可以把它写成这些极点留数的和。我需要说明一下，这里的 3 次方是为了保证 A(s) 按照我们需要的速度衰减，这是由 Froissart 界保证的。但是请注意，因为我知道我的散射振幅在其他地方都是解析的，所以我通过包围这些极点得到的积分，应该跟我通过包围这些分支切割、然后在无穷远处闭合积分路径得到的积分相等。

所以这个积分也应该等于：

其中 Disc A(s) 表示 A(s) 的“不连续性”。但实际上，可以利用交叉对称性证明，这个不连续性等于：

Im A(s) 表示 A(s) 的虚部。这是利用了交叉对称性。但是我们从“光学定理”知道，散射振幅在前向极限下的虚部，跟总散射截面是直接相关的。所以我也可以把它写成：

(更准确的光学定理会有一个跟 s 有关的平方根因子，但为了简洁起见，我们先不写出这个因子。)

这是光学定理。然后，关键的一点是，我们知道散射截面 σ(s) 总是严格大于 0 的。

这就告诉我们，实际上，我的理论在低能区域的留数之和，必须是正的。

听课人: 这里有人提问。值得指出的是，你写的是无质量情况下的正确的光学定理，但是需要指出的是，对于有质量的情况，光学定理会有一个修正项。

Rachel: 是的，抱歉。这里会有一个平方根因子：

但这个因子也总是严格大于 0 的。谢谢你指出来。我这里稍微省略了一些细节。

听课人: 你还用了另一个条件来保证在下半平面, 对吧？

Rachel: 是的，没错。我的意思是，我是不是漏掉了什么？我们是不是已经知道不存在...？

听课人: 是的。我们所做的解析性假设是，所有的非解析性都来自于真实的物理过程，这意味着它们必须位于实轴上。

Rachel: 这很了不起，因为一方面，你对理论的高能（紫外）行为做了一些假设。你说，我不一定知道我的理论在高能下具体是什么样子，但是我假设，不管它是什么，它都满足这些性质。然后，基于这些假设，我就能对我的理论在低能下的行为得出一些结论。特别是，这些留数是完全可以通过理论在低能下的行为计算出来的。所以从某种意义上说，即使你对高能物理是什么保持“不可知”的态度，你仍然可以用它来对理论的低能行为施加约束。

这篇论文中也给出了一个具体的例子，就是考虑一个具有如下拉格朗日量的理论：

其中 φ 是一个标量场，具有通常的动能项，然后你给它加上一个包含更高阶导数的项，c 和 λ 是常数。刚才的那些约束条件会告诉你，常数 c 必须严格大于 0。

好的一点是，你可以把这个约束条件直接跟因果性联系起来。在这种情况下，你可以假设场 φ 有一个非零的期望值，或者说你在某个背景值附近对场做展开：

这样，我可以把 ∂μφ̄ 写成某个矢量场 cμ。那么，场 δφ 的色散关系（也就是能量和动量之间的关系）必须满足：

现在，(c ⋅ k)² 总是大于 0 的，λ⁴ 也是正的。你可以从这个色散关系中看出，这个场原本是无质量的，所以它以光速传播。而这个修正项，如果 c 是正的，它会让传播速度变成“亚光速”的；如果 c 是负的，传播速度就会变成“超光速”的。换句话说，仅仅通过考察这个场在某个背景下的传播，你也可以得出结论，c 必须大于 0，才能保证理论具有良好的因果行为。所以这是散射振幅的因果性和你从低能理论出发可能会得到的结论之间一个非常漂亮的对应关系。我需要说明一下，我不知道还有多少其他例子能像这个例子一样清晰地展示这种对应关系，但是至少在这个例子中，这种对应关系是成立的。

我们可以推广这些结论。更一般地，我们有这样一个结论：

其中 s̄ 是实轴上位于分支切割之间的某个点。这个结论说的是，把散射振幅减去极点项之后，对 s 求偶数阶导数，在 s = s̄ 处取值，结果总是大于 0 的。所以实际上，你得到的是无穷多个“正性约束”条件，它们作用在低能有效理论的系数上。

这只是其中的一个例子。正如我前面所说，这个例子在某种程度上重新激发了人们近年来对这类研究的兴趣。从那以后，这方面已经取得了大量的进展，有很多相关的研究。

听课人: 有人提问？我不太清楚。

Rachel: 只是一个评论。

听课人: 今年是 Feynman 和 Tom 这两位物理学家发表那篇用这些方法研究 π-π 散射的论文的 40 周年，那篇文章非常重要。

Rachel: 是的，π-π 散射是我原来打算讲的例子，谢谢你提醒。但是它没有得到足够的重视。是的，40 周年。谢谢。哦，非常好。

那么，我简单介绍一下人们是如何推广这些结论的。可以将这些类型的约束条件推广到前向极限之外。可以考虑任意质量和自旋的粒子。最近的一些进展包括所谓的“EFT-hedron”，它给出了一系列非线性的正性约束。

这些约束条件是作用在不同系数的乘积上的。这些类型的论证已经被应用到了各种各样的问题上，从 π 介子到矢量玻色子，到标准模型本身，到高自旋的有质量粒子，以及引力理论。所以这些类型的约束条件有着非常广泛的应用。

我想稍微岔开一点，谈一谈另一种类型的因果性约束。就像我前面说的，并没有一个单独的、统一的框架，说我们可以通过施加一致性条件来约束所有可能的理论。所以我想介绍另一种因果性约束，或者更确切地说，是一种“互补”的因果性约束。

这种约束条件仍然关注的是 2 到 2 的散射。但是现在，我们不再严格地考虑前向极限，而是考虑大 s、小 t 的极限。

也就是说，质心系能量很大，同时碰撞参数也很大。这个极限被称为 “eikonal 极限”。从散射的角度来看，eikonal 极限的好处在于，虽然原则上你的散射振幅需要通过计算无穷多个费曼图来得到，但是在这个极限下，对散射振幅有主要贡献的是所谓“梯形图”和“交叉梯形图”。

[示意图：梯形图和交叉梯形图]

这些是梯形图，还有交叉梯形图。这些图在这个极限下对散射振幅有主导贡献。好处在于，你实际上可以把这无穷多个图重新求和成一个简单的指数形式：

其中 δ_{tree} 对应于一个“树图”（tree-level diagram）。更重要的是，这个树图实际上是可以分解的，最终你只需要关心“在壳”（on-shell）的三点相互作用顶点。换句话说，你不仅只需要关心理论中的三点耦合，而且只需要关心在壳的三点耦合。这一点之所以重要，是因为在壳的三点顶点实际上受到了洛伦兹不变性的极强约束。对于任意给定的三个粒子，你能够写下的、跟洛伦兹不变性相容的相互作用形式总是只有有限多个。

所以这些相互作用形式总是有限的。这意味着你可以用一种跟具体模型无关的方式来检验理论。你可以说，好，这是我的理论中的粒子。

我不对我的拉格朗日量做任何假设。我把所有可能的在壳三点顶点都写下来，然后用它们来计算在这个极限下的散射振幅。如果你真的在这个 eikonal 极限下计算散射振幅，你会发现它具有这样的形式：

其中 b 是碰撞参数，q 是跟碰撞参数 b 垂直的动量， eiδ(b) 中的 δ(b) 被称为 eikonal 相位。 eikonal 相位的有用之处在于，你可以直接把它跟粒子在散射过程中经历的“时间延迟”或者“时间提前”联系起来。我可以写出这样一个关系：

我来解释一下这个式子的含义。假设这是时间轴，这是空间坐标。

[示意图：时空图，两个类光粒子散射，一个粒子由于相互作用发生偏转]

假设我考虑的是两个类光粒子的散射。我有一个粒子沿着这条线运动，假设这是 v 方向，也就是我的“光锥坐标”；另一个粒子沿着这条线运动，假设这是 u 方向。由于跟这个粒子的相互作用，这个粒子会发生偏转。我可能预期它最终会在无穷远处出现，跟它原本应该出现的位置相比，有一个位移 δu。

而 δu > 0 这个条件，就表示在你的理论中没有“渐近的超光速性”。这个条件保证了，由于相互作用，粒子到达的时间总是比它原本应该到达的时间要晚。所以这是要求没有渐近超光速性。如果你有一个理论，特别是，你可以想象取一个健康的理论，然后给它加上一些包含更高阶导数的修正项，然后你就可以计算在这个 eikonal 极限下的 2 到 2 散射振幅，然后你可以明确地检验，你的理论是否满足这个条件。

通过这种方式，你可以对低能理论施加约束。

听课人: 这里有人提问？那么哪些理论是适用于 eikonal 区域的？

Rachel: 很好。它对低自旋粒子不起作用。我们知道，对于自旋为 0 和自旋为 1 的粒子，在 eikonal 极限下，不仅仅只有梯形图有贡献。但是对于自旋为 2 以及更高的粒子，可以这样做。

听课人: 所以你说的是在任何没有标量场的理论中？那么结论是什么？

Rachel: 我认为结论是，如果你试图对标量粒子取 eikonal 极限，那么除了梯形图之外，还有其他费曼图也会有贡献。所以人们还没有成功地将这些约束条件应用到标量或者矢量粒子上，就是因为这个原因。

听课人: 对于任意自旋粒子的散射？

Rachel: 对于任何标量粒子的散射？

听课人: 对于自旋粒子，你说的是这个方法适用？

Rachel: 我的理解是，对于自旋更高的粒子，它是有效的，但是也许这里面还有一些需要注意的地方。你觉得呢？

听课人: 很好。

Rachel: 我本来打算介绍这些约束条件的应用。但是我说的“更高自旋”的意思是，你可以尝试用这种方法来构建弦理论，在这种情况下，你确实会有一个高自旋有质量粒子的谱，你可以用 eikonal 极限来计算这些粒子的散射振幅。

听课人: 安全起见，你可以实际计算一下。

Rachel: 有时候它会简化。

听课人: 有时候... 你是说对于规范理论，你不认为这个方法会有效，还是...？

Rachel: 不。我们知道在规范理论中会发生什么。

听课人: 我明白了。是的，那当然是对的。

Rachel: 是的。

听课人: 我们可以确认一下我是否理解，即使对于自旋为 2 或者更高的粒子，外面的那几条线... 交换的粒子...

Rachel: 不。抱歉，是“交换的”粒子必须是高自旋粒子。

听课人: 哦。

Rachel: 是的。还有三分钟。好的。

好的。那么我想讲的是，这些约束条件跟引力是怎么相互作用的？我会在剩下的几分钟里回到一个具体的例子。

所以有两种方式来理解这个问题。你可以尝试确定引力理论本身的约束条件。也就是说，把引力看作是一个无质量的、自旋为 2 的粒子的理论，然后看看你能不能通过这种方式了解引力可能的高能完备化。你还可以问的另一个问题是，这些约束条件在远离平坦时空的情况下会发生什么变化？到目前为止我们所做的一切假设都基于洛伦兹不变性。

我们希望能考虑一些约束条件，比如说，应用到宇宙学背景或者其他更一般的情况下。所以你可能会想，能不能在远离平坦时空的情况下，找到一些类似的约束条件？好的。也许因为我只剩下几分钟了，我就简单介绍一下这种类型的约束条件在引力理论中的应用。

听课人: Rachel，你能评论一下这种方法是不是也适用于有质量的自旋粒子吗？

Rachel: 是的，可以。事实上，我们对有质量的自旋为 2 的粒子做了这个计算，并且把理论中的两个自由参数约束到了只剩下一个。如果你对有质量的自旋为 2 的粒子做这个计算，你会发现参数空间实际上被约束到了一条线上。好的。

很好。那么，我简单介绍一些背景。

广义相对论是一个粒子物理学理论。事实上，它是唯一的、描述满足洛伦兹不变性的、相互作用的、无质量的、自旋为 2 的粒子的低能有效理论。然而，众所周知，广义相对论是不完备的。它在普朗克能标下会失效，普朗克能标大概是 10¹⁹ GeV，也就是 10 的 19 次方 GeV。所以你可能会想知道，在普朗克能标之上的正确的引力理论是什么。

显然，这个问题并不能完全通过这类一致性约束条件来回答。但是你可能会问，能不能对引力理论中那些包含更高阶导数的修正项的系数给出一些限制？能不能确定弦理论作为一种微扰的高能完备化理论的唯一性？我认为还有一些更具挑战性的问题可以提，这些问题超出了我们目前所知的这些约束条件的范围。但是，如果我们能够加深对这些约束条件的理解，从而解决诸如是否存在任何自洽的、非微扰的引力的高能完备化，或者如何在极高的能量下（也就是超普朗克区域）计算引力 S 矩阵，这将是非常有意义的。

因为时间关系，我就不详细介绍剩下的计算了，但是如果大家感兴趣，我很乐意继续讨论。谢谢。

听课人: 还有问题吗？

听课人: Steve. 有人提了一个问题。

Rachel: 也许我认为你比我更了解这些内容。

听课人: 这里面有很多谜团。但是关于引力的一个问题是，你没有一个很好的公理化起点，因为你没有对易的局域可观测算符。所以，当你开始的时候，你必须做一些不同的事情。

Rachel: 是的。你是特指“非多项式有界性”吗？还是指别的什么？

听课人: 举个例子，你从微观因果性开始，但是引力中的规范不变的可观测算符并不是局域的。所以你没有一个相同的出发点。尽管如此，看起来确实有一些论证，比如说支持多项式有界性，但是... 总之...

Rachel: 好的。谢谢。

听课人: 通常我们比较熟悉微观因果性。我们把微观因果性施加在基本场上，而不是可观测量上。

Rachel: 你在引力中没有基本场。你没有规范不变的场。对的。你没有... 这就是我所说的...

听课人: 我只是不太明白 A(s, t) 只依赖于在壳三点顶点这个结论。这是关于交换高自旋粒子的一个猜想吗？我不明白这个结论的上下文是什么，因为显然，如果你交换标量粒子，它就不成立。

Rachel: 不。不。抱歉，我的理解是这样的：如果你考虑的是低自旋粒子，比如标量或者矢量，那么在 eikonal 极限下，除了梯形图之外，还会有其他的费曼图对散射振幅有贡献。所以你可能会得到一些看起来像这样的图，或者更复杂的图，它们也会有贡献。

那么在这种情况下，如果你也有这些类型的图，那么散射振幅就不能重新求和成一个简单的指数形式。事实上，我不确定在这种情况下我们是否知道如何重新求和。所以对于低自旋粒子，你不能简单地说，在前向极限下，我的散射振幅会是一个树图的指数形式。

听课人: 所以这个结论是，如果它能重新求和成这个指数形式，那么它只依赖于...

Rachel: 没错，没错。然后你可以证明它可以分解，然后你就只需要这些在壳的三点顶点。

听课人: 好的，谢谢你，Rachel。

来源：战略视野广