摘要：本文仅一道题，通过详细分析，帮您打好数学基础，助力您初中、高中数学一路高歌猛进。

#热问计划第二季#

三角形、四边形、圆的相关求解和证明，历来是中考重点。

而前提和基础，却是相交线和平行线。

所以，从七年级初一，必须打好基础。

练就善于精准画图、练就善于分析、推理和探究。

本文仅一道题，通过详细分析，帮您打好数学基础，助力您初中、高中数学一路高歌猛进。

从初一，练就快速、精准画图。

例题：已知平面内有两条平行直线AB和CD，点P为平面内任一点，∠PAB的角平分线和∠PCD的角平分线交于点M，设∠AMC＝α，∠APC＝β，请根据所给图形，分三种情形探究α和β的数量关系。

本题附图，很简陋。故意没给点P的位置

仅仅给个这图？哪三种情形也不给说？

稍安勿躁。他要求的三种情形，无非是点P的位置不同。

点P可位于①直线AB的上方；②直线CD的下方；③直线AB和CD之间。就按这三种情形求解。

从初一，练就善于分情形讨论。

关于作一个角(比如∠AOB)的角平分线，尺规作图如下：

①以角的顶点点O为圆心、以任意长为半径画弧，交OA边于点C，交OB边于点D；

②分别以点C和点D为圆心、以同样长(这个长度必须大于线段CD的一半，否则两弧无法相交)为半径画弧，两弧交于点E，OE即为∠AOB的角平分线。

作一个角的角平分线。尺规作图。

情形1：当点P位于直线CD的下方时：如下图，

建议从初一自己画图，不过分依赖。

从上图看，这家伙也有两种情形，不过让探究的∠AMC和∠APC难以直接对话。

这需要有中间人敦促这俩角搭上关系。即需要作辅助线。

我们目前只知道作平行线。

那就紧密结合已知和未知，抓紧作平行线。

如下图，过点M作MN∥AB，过点P作CD的平行线EQ交∠PCD的角平分线于点E。

情形1的详细解析附图。

∵MN∥AB，∴∠1＝∠4----①

∵MN∥AB，CD∥AB，

∴MN∥CD，∴∠3＝∠4＋α----②

由①②知∠3＝∠1＋α，

即α＝∠3－∠1--------③

∵CM平分∠PCD，∴∠PCD＝2∠3，

∵EQ∥CD，∴∠CPQ＝∠PCD＝2∠3，

情形1的详细解析附图。

∵AM平分∠PAB，∴∠PAB＝2∠1，

∵EQ∥CD，AB∥CD，

∴EQ∥AB，∴∠APQ＝∠PAB＝2∠1，

∴β＝∠CPQ－∠APQ＝2∠3－2∠1＝2(∠3－∠1)--------④

由③④知β＝2α。

情形1的一种情况详细解析结束。

情形1如果按照另一个图、另一种情况，简要步骤如下：

∵MN∥AB，∴α＋∠3＝∠1，即α＝∠1－∠3----①

∵PQ∥AB，∴β＋∠4＝2∠1----②

由PQ∥CD知∠4＝∠PCD＝2∠5＝2∠3-----③

由②③得β＝2∠1－2∠3＝2(∠1－∠3)--------④

由①④得β＝2α。

情形1的另一种情况附图。

情形2：当点P位于直线AB和CD之间时：如下图：

情形2之附图。

这种情形，俺给出两种解法。

如下图，过点M作MN∥AB，过点P作PQ∥CD。

情形2的解法一之附图，详细分析待续：

∵AM平分∠PAB，∴∠PAB＝2∠1，

∵CM平分∠PCD，∴∠PCD＝2∠3，

∵MN∥AB，∴∠4＝∠1----①

∵MN∥AB，CD∥AB，

∴MN∥CD，∴∠5＝∠3----②

情形2之解法一的辅助线附图，详解待续

∵PQ∥CD，∴∠6＝∠PCD＝2∠3----④

∵AB∥CD，PQ∥CD，

∴PQ∥AB，∴∠7＝∠PAB＝2∠1----⑤

由③⑥知β＝2α。

从初一，注意锻炼快速书写步骤。

解法二：不作平行辅助线，不再利用同位角和内错角，而利用同旁内角以及三角形内角和。

如下图，连接AC。由题意设∠BAM＝∠PAM＝θ，∠BAM＝∠PAM＝γ。

∵AB∥CD，

∴同旁内角互补∠BAC＋∠DCA＝180°，

即(2θ＋∠4)＋(2γ＋∠5)＝180°，

∴2θ＋2γ＝180°－∠4－∠5----①

在△APC中，由内角和知180°－∠4－∠5＝∠APC＝β----②

由①②知β＝2θ＋2γ＝2(θ＋γ)，

情形2的解法二之附图，详解待续：

在△AMC中，由内角和知

∠AMC＝180°－(θ＋∠4)－(γ＋∠5)

＝180°－∠4－∠5－(θ＋γ)----④

即α＝β－(θ＋γ)----⑤

由③⑤得α＝β。

从初一要学会一题多解发散思维开拓思路

情形3：当点P位于直线AB的上方时：可仿照情形1，作平行辅助线，充分利用同位角和内错角。如下图：

情形3之附图。

具体解题步骤，咱们采取提问式：如下图：

第一步：∠3＝∠1是否成立？

第二步：∠2＝2∠1是否成立？故∠2＝2∠3。

第三步：α＋∠3＝∠4是否成立？

第四步：β＋∠2＝2∠4是否成立？

情形3，提问式附图。

目的是求出α和β的关系式。紧盯第三步和第四步。

将第三步“α＋∠3＝∠4”两边同乘以2得2α＋2∠3＝2∠4。

与第四步“β＋∠2＝2∠4”相比，可得2α＋2∠3＝β＋∠2。

结合“∠2＝2∠3”，即有2α＝β。

别嫌麻烦，沉下心耐心分析。

解题要领及文末寄语

解题要领

对于大题，求解或证明时，如果感到头绪繁多，您可以参照以上，先列出四个部分。

然后针对四个部分，确定先写谁、后写谁。

这样解题，可避免步骤混乱、丢东忘西，避免涂改卷面。

掌握要领，事半功倍。

文末寄语

掏心窝子说，这三种情形的图形，我非常希望同学们自己画。

凡是自己能竭力完成的，决不依赖别人。

长大后，有执行力、能独当一面的人，才是最受青睐的人。请谨记。

力争自己独立完成。

作者简介

中共党员，高中教务主任，常年兼任高中数学、物理、化学等科目。中考数学命题组成员。

专注教育领域，持续发布中考、高考压轴大题的多角度原创详细权威解析，力求篇篇经典。从不照搬答案。

到了高中，俺依然是您的良师益友。

发文涉及科目主要有中高考数学、物理，偶尔也有英语、化学、作文。

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来源：爱吃鱼的阿笨猫