摘要：都知道，平面几何中有一种常见图形“子母相似”三角形。其有两种情况，即：大三角形怀中抱两个三角形，当中一个与其相似时就成了“子母相似”，而且相似三角形之间的边可表达成多种形式，若在动变状态时就会有相应最值存在。“子母相似”三角形的动态下，一般有：两个定点（定长边

都知道，平面几何中有一种常见图形“子母相似”三角形。其有两种情况，即：大三角形怀中抱两个三角形，当中一个与其相似时就成了“子母相似”，而且相似三角形之间的边可表达成多种形式，若在动变状态时就会有相应最值存在。“子母相似”三角形的动态下，一般有：两个定点（定长边）和两个动点，定边的位置有多种，动点的轨迹可圆弧和直线（平或斜）。现举例若干，对于问题的内在逻辑与求解策略，大家一起来说说：

【例一】（如图）∠BAC=45º，点M在边AB上，且BM=2AM=2√2，点G在直线AC上，点N在BG边上，满足∠NMB=∠BGM，求AN最小值

【分析】首先，“子母相似”△BMN∽△BGM，BM²=BN·BG=8；然而，两定点B、M（定边BM=2√2），两动点G、N，其中动点G的轨迹是斜直线AC与定边AB成45º角；最后，确定另一动点N的轨迹后求相应最值…具体过程如下：

【例二】（如图）△PAB中，点M在边AB上，且AM=2BM=2√2，连PM，∠APM=45º，点Q在射线BP上，满足∠BAP=∠BQA，求AQ最大值

【分析】首先，“子母相似”△BAP∽△BQA，AB²=BP·BQ=18；然而，两定点A、B（定边AB=3√2），两动点P、Q，点P的轨迹为隐圆（△PAM为“定角对定边”）；最后，确定点Q的轨迹后求相应最值…具体求解过程如下：

【例三】（如图）∠BAC=45º，点M在AB边上，且BM=2AM=2√2，点G在直线AC上，点N在边BG上，满足∠GMN=∠B，求AN的最小值

【分析】首先，“子母相似”△GMN∽△GBM，GM²=GN·GB；然而，两定点M、B（定边MB=2√2），两动点G、N，动点G的轨迹为直线AC与定边AB成45º；最后，作点M关于AC的对称点，导出“阿氏比”确定点N轨迹后，求相应最值…具体求解过程如下：

提供【例三】的另一种求解方法如下：

【例四】（如图）△ABC中，∠A=45º，点M在AB上，BM=2AM，点N在BC上，MN=2，且满足∠CMN=∠B，求AN的最大值

【分析】首先，“子母相似”△CMN∽△CBM，CM²=CN·CB；然而，MN=2（定长线段），此题处于（“动静”互换），边CA与AB成夹角45º，点M落在边AB上BM/MA=2/1；最后，通过平移，将MN=2与45º结合成“定角对定边”作圆弧…具体求解过程如下：

亦可：作对称点成“阿氏比”再用“托

【例五】（如图）∠BAC=45º，点M在边AB上，且BM=2AM，点G在直线AC上，点N在边BG上，满足∠GMN=∠B，求MN/AN的最小值

【分析】首先，“子母相似”△GMN∽△GBM，GM²=GN·GB；然而，视定点M、B，动点N、G，点G的轨迹为直线AC与边AB成45º夹角；最后，通过作对称点成“阿氏比”再应用“托勒密”求得相应最值…具体求解过程如下：

以上几例之分析，“道听度说”供参考。

来源：道听度说