摘要：常见，平面几何中有这样一类最值问题，就是：在一个定三角形中关联着一对动态相似三角形，而且其有一个公共顶点的轨迹为定直线，求关于两相似三角形中另一个动点的相应最值。一般可以确定动点轨迹后求最值或通过转变后直接求相应动线段最值。为此，举例三题一起来说说其的几种求解

常见，平面几何中有这样一类最值问题，就是：在一个定三角形中关联着一对动态相似三角形，而且其有一个公共顶点的轨迹为定直线，求关于两相似三角形中另一个动点的相应最值。一般可以确定动点轨迹后求最值或通过转变后直接求相应动线段最值。为此，举例三题一起来说说其的几种求解方法：

【例一】（如图所示）△ABC中，∠BAC=90º，AD=BD，∠B=30º，BC=4，点P在边BC上，且△APD∽△CPE，求：AE的最小值

【分析】首先，两相似三角形有共顶点P，有两个顶点为动点，其中动点P的轨迹为BC所在直线（求另一动点E的轨迹）；然后，利用相似三角形“手拉手”和定三角形的已知角构造四点共圆；最后，得动点E为“定角对定边”，确定其的轨迹…具体求解过程如下：

【例二】（如图）△ABC中，AB=5，BC=8，AC=7，点D为AC边上一点，且AD/DC=3/4，点E为边BC上一动点，点F为平面内一点，满足：△BEF∽△AED，求BF的最大值

【分析】首先，已知相似三角形中有两个动点E、F，点E的轨迹为BC所在直线；然后，利用“手拉手”和已知定三角形构造相似三角形；最后，得“定角对定边”…具体求解过程如下：

【例三】（如图）△ABC中，D是BC边上一点，BD=2，CD=4，∠ADC=60º，平面内一点E，使得：△ABE∽△ACD，连BE求其的最大值。

【分析】首先，两相似三角形公共顶点为动点，且轨迹为定直线AD，另一动点为E，由相似得BE=4AB/AC，转化为求（AB/AC）最值；然后，求直线上一动点到两定点间线段之比的最值；最后，作定点关于动点轨迹线的对称点，应用“托勒密”求最值…具体求解过程如下：

【例四】（如图）△ABC中，AB=10，BC=8，AC=6，点D为AB上动点，点E、F分别为边BC、AC的中点，点G为平面内一点，且满足：△CDF∽△EDG，求GE的最小值

【分析】首先，此题与上几例同类，但有一点变化，就是，点F（或点E）在边AC的中点，不在顶点A上；然后，将已知相似三角形扩为：△DEH∽△DCA；最后，应用以上的方法求解（下面提供：确定点G的轨迹后求最值的方法，亦可用“托”方法）…

以上几例之分析，“道听度说”供参考。

来源：道听度说