摘要：题目1：如图1，O、H分别是△ABC的外心和垂心，M是AH的中点，过M作OM的垂线分别交AB、AC于D、E。求证：M为DE的中点。

题目1：如图1，O、H分别是△ABC的外心和垂心，M是AH的中点，过M作OM的垂线分别交AB、AC于D、E。求证：M为DE的中点。

解题思路：连接OD、OE，如能证明△DOE为等腰三角形，根据三线合一性质则结论成立（图2）。

过点O作OF⊥AB，OG⊥AC，则垂足F为AB的中点，G为AC的中点。

连接FM、BH，根据中位线性质、垂足定义则FM∥BH∥OG；

同理，连接GM、CH，则GM∥CH∥OF，

故四边形FOGM为平行四边形，∠MFO=∠MGO。

易证D、F、O、M和O、M、G、E四点共圆，根据同弦对等角性质，∠MFO=∠MDO，∠MGO=∠MEO，故∠MEO=∠MDO，△DOE为等腰三角形，M为DE的中点得证。

题目2：如图1，H是锐角△ABC的垂心，M为AH的中点，过M作MK∥AB，K在BC上，过K作KN⊥BC交AB于N。求证NM⊥CM。

解题思路：根据垂心性质，AH⊥BC，故四边形ANKM为平行四边形（图2）。

连接KH，易证四边形NKHM亦为平行四边形，NM∥KH。

已知MK∥AB，且CH⊥AB，故CH⊥KM。

在△MKC中，AH⊥KC，CH⊥KM，故点H为△MKC的垂心，则有KH⊥MC。

已证NM∥KH，故NM∥MC成立。

来源：傲珊教育