摘要：本文侧重初高中衔接、侧重辅助线技巧，讲解详细、透彻，请持续关注。

原题仅提供了一种解法。本文提供三种解法。

本文侧重初高中衔接、侧重辅助线技巧，讲解详细、透彻，请持续关注。

本题适合初三冲刺、适合初二程度极好的同学。

如附图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB的中点，点E在AC上且AE＝3，动点F在BC上，当∠CAF＝2∠BDF时DF与DE恰好垂直，求此时DF的长(提示：二倍角正切公式为；要求至少3种解法)。

本题牵涉到的知识点有：等腰直角三角形、二倍角、垂直。

凡见到“等腰直角三角形”，建议注意：

①等腰三角形三线合一；②有垂直可考虑建坐标系；③有相等的边可考虑旋转等。

凡见到垂直，可考虑到：

①勾股定理；②四点共圆；③三角函数；④用面积法求解；⑤建平面直角坐标系等。

由题意△ABC为等腰直角三角形。

他说“点D为AB的中点”，这样的情形，应很快想到CD是斜边上的中线和高、且CD平分顶角。立即连接CD！

凡是求解线段长，高度注意全等或相似。

连接CD后，△BDF≌△CDE是否成立？

∠C处和∠B处均为45°；BD＝CD；两个较尖的锐角均与∠CDF互余。ASA全等。

由△BDF≌△CDE得到BF＝CE。您当然也可以证△CDF≌△ADE。

∵BC＝AC，BF＝CE，∴BC－BF＝AC－CE，即CF＝AE＝3，

设BF＝CE＝t(t＞0)，

由“∠ACB＝90°，AC＝BC”知∠B＝45°，

过点F作FH⊥DB于点H，则△FBH为等腰直角三角形，FH＝BH＝t，

∵AC＝BC，点D为AB的中点，∴CD⊥AB(等腰三角形底边上的中线垂直底边，不要笼统说三线合一)，

又FH⊥DB，∴FH∥CD，∴BF:CF＝BH:DH(平行线分线段成比例)，即(t):t＝3:DH，∴DH＝，下接图片，根号和分数较难敲打哟！

解法一主要用到：

①全等；②等腰直角三角形性质；③平行线分线段成比例；④三角函数；⑤高中二倍角正切公式；⑥分式化简、避免求解一元二次方程；⑦勾股定理。

辅助线构造，很关键。建议平时多总结、多积累经验。

由已知易证得△CDF≌△ADE(ASA)，故CF＝AE＝3，且DF＝DE，

由DF＝DE、DE⊥DF知△EDF为等腰直角三角形，DF＝-----①

对角互补的四边形是圆内接四边形。

注意到∠ACB＝∠EDF＝90°，即点C和点D均在以EF为直径的圆上，故同弧所对的圆周角相等，如下图∠2＝∠3，而∠3＋∠CDF＝∠BDF＋∠CDF＝90°，故∠3＝∠BDF，则∠2＝∠BDF，这就把∠BDF转化为∠2了。

往下，从∠CAF＝2∠2说起。

根据等腰三角形性质，不难想到辅助线构造2∠2。

由①④得DF＝。

解法二主要用到：

①三角形全等；②等腰直角三角形性质；③圆内接四边形性质；④同圆中，同弧所对的圆周角相等；⑤一条弦角所对的圆周角是90°，则这条弦是直径；⑥三角形相似；⑦十字相乘求解一元二次方程；⑧勾股定理。

从关键处入手。

关键一：他提到“∠BDF”，那就充分利用题干透露的△ABC为等腰直角三角形、∠B＝45°，作辅助线FH⊥DB，这样就构造了两个有利条件：①△ABC为等腰直角三角形；②将∠BDF弄到Rt△DFH内便于利用正切。

关键二：他提到“∠CAF＝2∠BDF”，那就辅助线构造等腰三角形、让∠CAF充当外角。

如上图，设FH＝BH＝t(t＞0)，则BF＝CE＝t、CF＝AE＝3，这一步需要证一次全等，俺省略了哈。

解法三，辅助线构造相等的角，然后通过三角函数或相似求解。思路单一、计算略烦。

解法三主要用到：

①勾股定理；②等腰直角三角形性质(斜边是直角边的√2倍)；③三角函数或相似。

至于其他解法，如面积法、建坐标系法等，留给读者思考。

作者简介

中共党员，高中教务主任，常年兼任高中数学、物理、化学等科目。中考数学命题组成员。

专注教育领域，持续发布小升初、中考、高考压轴大题的多角度原创详细权威解析，力求篇篇经典。不卖课、不带货、不卖资料，干干净净免费传播知识。

发文涉及科目主要有中高考数学、物理，偶尔也有英语、化学、作文。≌∽

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来源：弘文教育