物理学最核心的3个思想：最小作用量原理、洛伦兹变换和度规张量

摘要：物理学激发了公众的好奇心，但许多人觉得数学令人望而生畏。然而，物理学中的许多核心思想源于简单的原理，这些原理经过调整和修改，逐渐演变为能够更好地映射物理现象的复杂形式化方法。

物理学激发了公众的好奇心，但许多人觉得数学令人望而生畏。然而，物理学中的许多核心思想源于简单的原理，这些原理经过调整和修改，逐渐演变为能够更好地映射物理现象的复杂形式化方法。

虽然许多物理学毕业生最终从事数据科学工作，但物理学中的数学见解能否为数据科学家提供启发并丰富他们的知识呢？我认为答案是肯定的。尽管数据科学作为一个独立的学科相对较新，但数据的收集和分析贯穿了物理学的历史，例如约翰内斯·开普勒通过收集天文观测数据推导出了行星运动定律。物理学和数据科学都从数据中提取模式，尽管数据科学通常处理的是统计模式，而物理学处理的是符合规律的或规范性的模式。理解基本定律可以帮助数据科学家在建模复杂系统和开发真实世界现象的模拟时取得更好的效果。

在本文中，我将探讨支撑大部分物理学的三个数学思想：最小作用量原理、描述爱因斯坦狭义相对论中时间和空间变换的洛伦兹变换，以及支持广义相对论（即将引力解释为时空曲率的理论）数学基础的度规张量。

最小作用量原理可能是整个物理学中最重要的原理，因为它贯穿了经典力学和量子力学。它提供了一个与牛顿发明的描述物理系统演化的经典运动方程等效但不同的表述。具体来说，它通过确定最小化一种称为作用量的东西的路径来描述物理系统在时间上的运动。作用量是一个泛函，即一个以函数为输入的函数，它描述了系统在两个点之间路径变化的驻定性。

驻定性（也称为极值性或停滞性）在物理学和数学中是指某个函数在某点附近不再继续增大或减小，而是处于一个极值点（极大值或极小值）或驻点的性质。在这个点上，函数的一阶导数（即斜率）为零，函数的值“停留”在某个稳定的状态。

函数：输入数值，输出数值

泛函：输入函数，输出数值

算子：输入函数，输出函数

理解作用量作为一个泛函，特别是作为对路径变化进行评分的工具，是理解其背后概念的关键。下文的解释将使这一点更加清晰。这一显著结果将运动表达为在给定约束条件下的一种优化函数。

洛伦兹变换描述了时间和空间坐标如何交织成一个统一的度量，从而使它们的测量能够相对于惯性参照系中的观察者成比例地变化，同时保持光速不变。这个形式化方法确保了光速在不同参照系中保持恒定，这与牛顿的假设相反，后者认为光速会相对于不变的空间和时间单位发生变化。在狭义相对论提出之前，光速的恒定性是一个与经典物理框架不相符的实验观察现象。

最后，我们解释度规张量背后的数学思想，它描述了曲面上的长度或距离。度规张量是一个双线性、对称的恒等矩阵，它将平坦的欧几里得空间中基于毕达哥拉斯定理的长度概念推广到包括曲面在内的任何可能的空间。曲面被爱因斯坦用来描述在引力存在下时空的扭曲。你们可能非常熟悉欧几里得距离和线性代数，因此理解度规张量背后的概念应该是一个自然而然的事情。由伯恩哈德·黎曼发展起来的度规张量构成了非欧几里得几何的基础，奇妙地将长度的概念推广到任何基础几何上。

最小作用量原理

最小作用量原理构成了物理学的核心。它包括了运动方程，并以数学形式表达了物理系统在时间上过渡的规则。

要开始理解这个原理，回想一下牛顿第二定律是如何通过三个输入来计算粒子系统的轨迹的：粒子的质量、作用在系统上的力，以及初始位置和速度，并通过F=ma确定演化规则，其中m表示质量，a表示加速度。与牛顿的方法不同，最小作用量原理通过输入初始和最终位置、质量和速度（以及根据系统的不同而不同的其他约束）来计算系统的轨迹，但省略了力的作用。它随后选择了最小化一种称为作用量的数量的路径。在我们解释作用量的具体内容之前，我们需要理解牛顿方程的另一种表述，即拉格朗日量（Lagrangian）。

拉格朗日量L被计算为动能T与势能V之间的差值，其中T由质量与速度平方的乘积除以2（2表示初始速度与最终速度之间的平均值）得出，而V则由物体的质量m、重力常数g和物体离地高度h的乘积得出（势能的计算随系统的不同而变化）。

其中：

m = 质量

v = 速度

g = 重力强度 9.8 m/s²

h = 高度

N = 粒子数量

k = 粒子标签

为什么拉格朗日量是通过动能和势能的差值计算出来的？因为当系统运动时，它将势能转化为动能，而两者之间的差值捕捉到了这两种能量之间的动态相互作用。相反地，重要的是要注意，总能量是通过这两个值的和计算出来的。

拉格朗日量的输入是位置 x 和速度 v。这是因为速度是位置的第一导数。

要计算拉格朗日量，我们至少需要知道速度、广义坐标、位置和粒子的质量。势能取决于粒子（或一组粒子）的位置，因为它描述了该粒子可能做的功，而动能取决于粒子的速度，因为它描述了粒子的运动。

在讨论物理系统的轨迹或路径时，作用量是如何成为一个关键概念的？想象在一条曲面上有两个点，你需要找到最短的距离。这两个点之间有许多路径，但只有一条路径表示最短距离。作用量类似于这个问题。为了找到系统的轨迹，我们需要选择一条使作用量最小化的路径。由此推论，作用量在系统演化过程中保持驻定。

由于作用量必须是驻定的，因此作用量的一阶偏导数必须为零：

在高层次上，作用量通过拉格朗日量在给定时间区间[t_0, t_1]的路径积分来描述。尽管从 t_0 到t_1的函数积分通常被理解为曲线下的面积，但拉格朗日量的路径积分不应直观地被视为面积，而应被视为泛函的积分。泛函是以另一个函数作为输入并输出标量的函数。输入是拉格朗日量，输出定义了作用量。在系统可以在t_0和t_1之间采取的许多路径中，我们会发现它恰好选择了最小化作用量的路径。

以下是作用量作为拉格朗日量路径积分的简单公式：

现在，由于定积分可以通过函数f(x)输出的y值与x的变化（表示为 Δx）的乘积的黎曼和来计算，当 k的区域分区趋于无穷大时，我们可以将作用量计算为拉格朗日量与时间导数 dt的乘积的黎曼和。换句话说，拉格朗日量的定积分可以通过在时间区间内最小化作用量来计算。

作用量由系统初始位置和最终位置之间的拉格朗日量路径积分构成。这意味着路径积分通过计算势能和动能之间的差值来最小化作用量。微积分的基本定理允许我们将作用量计算为t_0和t_1 之间的连续区间，尽管它也可以在离散时间步长N中计算。如果我们将作用量想象为离散时间步长 N的总和，我们可以将其计算为拉格朗日量在每个时间步长的值与时间t值的乘积的总和。

拉格朗日量通常依赖于位置和速度，但也可以是时间相关的。如果拉格朗日量随时间变化，即使其位置和速度保持不变，我们就说它是时间相关的。否则，拉格朗日量隐式地通过位置和速度的变化依赖于时间。对于时间无关的公式，我们将 L(x,x˙)代入方程，以表示其对位置和速度的依赖性：

现在，根据动量守恒定律，系统所有动量之和的导数等于零。换句话说，在一个孤立系统中，总动量始终是守恒的或保持不变的。常数的导数为零，因为变化率保持不变或相等。在牛顿力学中，第三运动定律表明，每一个作用都有一个相反且相等的反作用力，这表达了总动量的守恒。

同样，能量守恒定律认为孤立系统的总能量在任何转化过程中都是守恒的：总能量的时间导数为零。然而，与动量不同的是，能量有不同的形式。所有这些形式的总和是守恒的。用运动的术语来说，能量只有我们一直在讨论的两种形式：动能和势能。

由于拉格朗日量定义为这两种能量形式之间的差值，当拉格朗日量在时间平移下不变时，这意味着能量的守恒。

类似于能量守恒的情况也出现在作用量方面。在确定的轨迹中，自然选择使作用量值最小的路径。这种最小化类似于优化问题中函数的最小化，只不过作用量代表了包括每个时刻所有坐标在内的多个变量。这种极值特性通过欧拉-拉格朗日方程表达出来，形成了运动方程。

什么是欧拉-拉格朗日方程？它们是描述系统如何从一个时刻移动到下一个时刻的微分方程。现在，我不会在这里推导这些方程，但直观上，我们将作用量A相对于位置 dx的导数设为零。换句话说，我们考虑路径中的微小变化，并要求作用量的偏导数为零。

这会产生欧拉-拉格朗日方程的两个项：拉格朗日量对速度的偏导数的时间导数，以及拉格朗日量对位置的偏导数。分别代表动能（动量变化）和势能的变化。将这两个量之间的差值设为零，就得到了最小化作用量的欧拉-拉格朗日方程。

单个坐标或自由度下的欧拉-拉格朗日方程如下所示，其中 L表示拉格朗日量，x点表示速度，x 表示位置。

用自然语言描述，这个方程表示为：拉格朗日量对速度的偏导数的时间导数减去拉格朗日量对位置的偏导数等于零。直观上，这可以重新表述为：拉格朗日量相对于速度的瞬时变化率的时间导数减去拉格朗日量相对于位置的瞬时变化率是驻定的。

进一步简化，欧拉-拉格朗日方程意味着物理系统的运动对应于拉格朗日量积分（即作用量）的极值。

该方程可以推广到任意坐标（x,y,z,…n）：

在具体情境中，作用量是一个泛函，也就是说，它是一个函数的函数，涉及从一个函数输入（拉格朗日量）到标量输出（作用量值）的映射。

尽管最小作用量原理能够有效计算物理系统的轨迹，但它需要知道初始和终止位置。取而代之的是我们使用牛顿形式化方法，它要求知道粒子的位置和初始速度。

最小作用量原理可以在重要的限定条件下适应量子物理，其中考虑了初态和末态之间的所有可能路径，并通过计算每条路径的概率幅的总和来确定系统的概率演化。

根据这种表述，经典的最小作用量原理可以被认为是量子表述的一个特例，在所有路径中，最小作用量路径占主导地位。

洛伦兹变换

理解洛伦兹变换是进入爱因斯坦狭义相对论的入口。它们构成了计算惯性或匀速参照系中的相对论时空变换的数学框架，即排除引力的参照系。

狭义相对论的核心概念是，运动只能相对于某个参照系来描述，而不能用绝对的方式来描述。例如，如果我在开车，相对于汽车来说我是静止的，但相对于我的房子来说我是在移动的。

相对运动的概念存在于经典力学中，最早由伽利略描述。

狭义相对论中突破性的见解并不是相对运动本身，而是在空间平移过程中保持不变或恒定的内容。在经典力学中，所有运动都是无差别地相对的，而空间和时间的坐标仅以加法方式变化，同时对于所有观察者来说都是静止且相互独立的。

经典力学中的相对运动假设意味着光的运动也应遵循相对论定律。换句话说，如果我站着不动并拿着手电筒，而你在开车并拿着手电筒，那么你手电筒发出的光的运动应被测量为光速与你的速度之和。

然而，实验证据与这一假设相矛盾。实际上，无论参照系如何，光的速度都是恒定的。换句话说，实验证据表明光速是绝对的。

爱因斯坦并没有在观察结果中寻找错误，而是将光速恒定性作为自然法则。如果光速始终测量相同，那么必须改变的是空间和时间坐标的表示方式。

要理解爱因斯坦的狭义相对论如何实现这一点，重要的是对经典力学描述的简化运动方程有一个初步的理解。这些方程将被修改，以便观察者之间的相对运动不会改变光速，而是改变空间和时间的交织度量。这带来了一个奇特的结果：当速度接近光速极限时，时间和距离的测量会因观察者不同而有所不同。

运动方程通常被简化为SUVAT缩写（s = 距离，u = 初始速度，v = 速度，a = 加速度，t = 时间）：

闵可夫斯基度规

为了使洛伦兹变换易于理解，我们将使用时空图。这些图反转了距离和时间的坐标轴，时间表示为x轴，距离表示为y轴。此外，我们使用y轴表示大的距离区间，因为我们想解释相对于光速的运动。光速为299,792,458 米/秒。在时空图中，一秒钟将对应于这个距离。这意味着图中位于坐标轴之间45°角的直线表示光速在时间上的恒定性。实际上，笛卡尔坐标系中的对角线将代表光速的渐近极限，这将限制在y轴上时间的平移和在x轴上空间的平移。

在时空图中，45°角的直线表示光速传播。如果一条直线的角度小于45°，这表示该物体以低于光速的速度（亚光速）匀速运动。在牛顿经典力学的框架中，光速被视为和其他任何速度一样，可以相对叠加或减去。因此，在牛顿的观点中，直线角度大于45°的情况意味着该物体以超过光速的速度（超光速）运动。此外，牛顿的模型假设时间和空间的单位是不变的，即无论参照系如何变化，这些单位始终保持恒定。因此，如果以半光速朝着光的方向运动，从你的参照系来看，光速会减少一半，因为你认为自己在追赶光。然而，狭义相对论证明这种理解是错误的，光速在所有参照系中都是恒定的，不会因观察者的速度而改变。

从将空间和时间视为独立测量到将它们整合为称为时空的连续体，这一飞跃涉及将时间变量转化为距离的测量。我们通过将时间变量与光速常数c 进行加权来实现这一点。当我们将c 乘以t 时，得到 ct，它测量的是1光秒。

在牛顿-伽利略的框架中，两个参照系S和S'分别由坐标(x, t)和(x',t')给出，其中撇号符号用于区分两个相对的参照系（并不表示微分或导数）。这些参照系是可逆的，且在伽利略相对论中它们的逆是等价的。从S的参照系来看，S'的坐标（位置和时间）分别由x' = (x-vt)和t' = (t- vx/c²)给出。同样地，从S'的参照系来看，S的坐标由x = (x' + vt')和t = (t+vx/c²)给出。然而，这些转换最终使光相对化，而不是时空。那么，问题来了，我们如何从S →S' 进行转换，以便在保留 c（光速）的同时，按比例缩放时间和距离变量（更准确地说，时空连续体）？

一种推导这些转换的方法是使用我们上面介绍的时空图，其中我们通过常数 c对时间进行了缩放。我们正在寻找的转换可以表示如下：

事实上，我们将利用参照系之间的对称性或等价性来推导出伽玛因子作为相对参照系之间时空转换的共同缩放因子，以反映光速恒定性。下图展示了这种相对运动的伽利略对称性，表达了我们引入的两个参照系作为彼此的逆：

参照系之间的可逆对称性。

由于光速在所有参照系中都是恒定的，如果从两个参照系的原点开始（x = 0 和 t = 0），光的路径将满足以下方程（回想一下，45°的对角线表示光速，其中一个时间单位对应于光在一个距离单位内的传播距离）：

从x到x'的转换由以下方程给出，其中x'只是x与速度和时间的乘积之差。现在，为了推导洛伦兹变换，我们需要某个因子来缩放时空变换。因子等于v/c——即速度与光速的比值——并用于缩放ct。如果展开表达式，会发现它在代数上简化为括号内的牛顿变换。正如我们将看到的，当洛伦兹因子接近1时，洛伦兹变换就会等同于它们的牛顿对应物，这与我们日常所理解的事件的同时性相对应。以下公式展示了我们如何从初始公式推导出伽玛缩放的相对位置转换公式：

同样，我们可以通过以下方程推导出从t到t'的时间变换。由于使用的是时空图，我们从ct'开始。我们看到ct'可以通过ct和缩放x的差来计算，整个表达式再由洛伦兹因子缩放。通过展开表达式代数求解t'，这将t'的解简化为t-vx/c²，并乘以：

当速度非常小时，vx/c²简化为0，简化为1，结果为t'=t。这一结果与我们日常的牛顿经验相对应，即我在静止状态下的1秒钟大致等于你相对于我以恒定速度运动时的1秒钟。

正如你可能注意到的，x'的转换涉及ct作为一个项，而t'的转换涉及x作为一个项。通过将它们作为彼此参照系变换中的项，时间和空间变得交织在一起，形成一个互相依赖的连续体，其中一个变量的单位变化对应于另一个变量的单位变化。这种相互关系将解释由洛伦兹变换描述的时间膨胀和空间收缩的比例关系。

我们如何确定洛伦兹因子的值？一种方法是将转换方程相乘并求解共同因子。记住，由于我们之前引入的等式，我们可以分别用ct和ct'替换x和x'。这将使我们能够消去相同的项并求解：

现在我们可以通过以下替换表达x'参照系：

并且可以通过以下替换表达t'参照系：

在每个方程中，当速度v接近光速时，v²/c²接近1，分母的值接近√0。我们从E=mc²知道，具有静止质量的物体原则上不可能被加速到等于光速。因此，分母的值不可能物理上等于0。

另一方面，当速度很小，v²/c²是一个非常小的数值时，分母的值接近1。当分母（称为洛伦兹因子）等于1或接近1时，洛伦兹因子变得无足轻重，方程近似为牛顿运动方程。也就是说，运动方程由分子给出，简化为牛顿的运动方程。

洛伦兹因子是理解洛伦兹变换的关键。如果你回想伽利略相对论，惯性参照系的互换性是通过旋转实现的。旋转由三角函数描述，三角函数保持欧几里得距离不变。具体来说，旋转保持半径不变。这意味着长度单位在转换过程中保持恒定。

类似地，洛伦兹变换保持了时空度规不变。与欧几里得度规不同，时空度规使所有的时空变换相对于光速这一绝对值变得相对。因此，光速形成了洛伦兹变换所趋近但无法等同的渐近线。渐近线由穿过两个坐标轴的对角线构成。由于时空变换的范围既是无限的，同时又渐近于对角线，因此它们由双曲函数或旋转来描述。双曲旋转是类似于三角函数的函数，但使用的是双曲线而不是圆。与有限的圆不同，双曲旋转可以扩展到无限的范围。它们与三角函数对应的函数可以被描述为对特殊数e（2.718）的指数运算，其中sin(x)的类似物表示为sinh(x)，cos(x)的类似物表示为cosh(x)，它们分别由以下函数描述：

就像在单位圆中(sin x, cos x)描述其点一样，(cosh x, sinh x)形成单位双曲线的右半部分。在狭义相对论的背景下，双曲旋转的角度被称为“迅速性”（rapidity），用符号eta 表示。以下是与我们之前推导出的洛伦兹变换等效的双曲旋转：

洛伦兹因子与双曲旋转迅速性之间的关系如下：

如果伽利略旋转保持半径或欧几里得距离不变，那么洛伦兹变换保持什么不变？它们保持闵可夫斯基度量不变，由以下等式给出，这与欧几里得距离类似：

由于实际的洛伦兹变换发生在四维空间中，1个时间维度和3个空间维度，或者说4个时空维度，四维闵可夫斯基区间由以下方程给出：

下面的GIF图展示了这些双曲变换作为二维时空扭曲，随着速度接近光速而逐渐趋近对角线渐近线。网格上的扭曲表示由于观察者的相对速度导致的时空度量的扭曲。随着速度接近光速极限，空间（水平轴的双曲线）收缩，时间（垂直轴的双曲线）膨胀。这些交织在一起的变换保持了闵可夫斯基度规s²的恒定，比例缩放这些变换以抵消光速的不变性。

空间收缩与时间膨胀可以在静止观察者和以匀速或惯性速度移动的观察者之间反转。如果你相对于一个静止的人以接近光速的匀速运动，同样可以描述你为静止，而对方则是以接近光速运动。

度量张量：曲面几何

狭义相对论中的洛伦兹变换发生在平坦的伪欧几里得空间中。什么是平坦空间？它是一种几何结构，其中点之间的度量或距离测量是恒定的。最著名的平坦空间度规是由毕达哥拉斯定理定义的。另一个平坦度规包括我们上面讨论的闵可夫斯基时空度规。

欧几里得度规将两点之间的距离定义为直角三角形最短边的平方和的平方根。这源于毕达哥拉斯定理：a² + b² = c²。

从几何学上讲，欧几里得两点间的距离是每个坐标（x,y）之间平方差的和的平方根。

毕达哥拉斯定理可以推广到n维空间：

因此，我们可以用下面的公式表达三维空间中的欧几里得距离：

然而，这种推广保留了欧几里得平坦空间作为距离属性。换句话说，度量保持恒定。

为了理解度量张量，我们需要学会将毕达哥拉斯定理视为平坦或欧几里得空间的特例。

换句话说，我们需要定义一个中立空间，使得由毕达哥拉斯定理定义的欧几里得距离可以作为特例推导出来。

在做到这一点之前，必须问为什么在毕达哥拉斯定理中坐标差是平方的？这可以通过多种方式解释，但一种直观的解释是几何学上的。它们是平方的，因为这产生了等长的几何面积，考虑到面积是长度和宽度的乘积，这使我们能够将斜边计算为直角边平方和的平方根。这个答案由克罗内克δ定义的度量张量给出，如果i=j则输出1，如果i≠j则输出0。

然而，我们也可以通过空间的广义度规来演示这个结果，其中度规张量由切空间上的平滑变化的内积组成。

什么是切空间？切空间是切于流形上一点的所有向量的集合。

该方程的一般形式如下，其中g代表度规张量，μv是每个坐标项的度量张量值的索引，dX表示每个坐标的微小位移：

根据上述方程，我们可以用以下求和公式表示二维空间中两点之间的平方距离：

在上面的公式中，g系数旁边的零和一以及x变量表示索引。具体来说，它们表示的是0和1的排列矩阵，即：01, 00, 11, 10。

dx⁰和dx¹系数表示两个不同坐标的微小位移，其中0和1表示索引。每个坐标的位移乘积与相应的度量张量g的值相乘。

因此，在上述公式中，g代表每个索引的度规张量的系数。为什么上面的公式有四项？因为两点由四个坐标或标量值描述。在欧几里得几何中，隐含的基向量是切向量(0,1)和(1,0)。这些切向量跨越了整个欧几里得空间。现在g定义了向量空间中任一点处的切向量之间的内积。g的值通过所有可能的基向量组合的内积获得。

当系数值表示两点之间的正交关系时，g的值简化为单位矩阵：