摘要：为什么不让大家冥思苦想，继续折磨折磨，就直接展示答案？这是受到一个棋友的启发，他说，面对一道围棋死活题，他最多考虑三分钟，想不出来就直接看答案。他说，直接看答案也是一种很好的学习。

我们来看一道求面积的几何计算题。

题目呈现

辅助线BF和未知数设置来自评论区的解题高手

请大家思考三分钟，想不出来就可以直接看答案。

答案请看下图。

解答图

为什么不让大家冥思苦想，继续折磨折磨，就直接展示答案？这是受到一个棋友的启发，他说，面对一道围棋死活题，他最多考虑三分钟，想不出来就直接看答案。他说，直接看答案也是一种很好的学习。

这位棋友很勤奋，他买了围棋四种大全，厚厚的书被他翻得很旧，可见他很用功。他对死活，手筋，常套下法都很熟练，早就是基本功扎实的业余高手。

答案是从评论区的解题高手那里搬运来的。

一看辅助线的作法，就是在构造燕尾模型。奥数老师总结出来的蝴蝶模型，燕尾模型等，底层逻辑都是共边比例定理。

请大家看解答图：把视线聚焦在三角形DBC中。

注意到，

S△ᴅʙɢ:S△ᴅᴄɢ=BG:CG

(理由：等高三角形面积之比等于底之比)

S△ғʙɢ:S△ғᴄɢ=BG:CG(同理)

S△ᴅʙғ:S△ᴅᴄғ=BG:CG(分比定理)

插图：比例的基本性质

解答图设未知数为S，得到比例式

48:S=(4+S):4，整理得方程

S²+4S-192=0，解得方程正根是12，答案就水落石出，像水晶一样透明了。长方形面积为160.

本题解法很多，辅助线也有其它作法。

本题的以上解法来自燕尾模型，或者说是共边定理。

共边比例定理告诉我们：若直线AB与直线PQ相交于点M(共有4种情形)，则有以下结论：

S△ᴘᴀʙ:S△ǫᴀʙ=PM:QM

即三角形面积之比等于线段比。

比例的基本性质源头在哪里呢？来自《几何原本》。该书是西方数学的著名典籍，前六卷的内容是几何，第七卷到第九卷讲述比例论和数论。

举个例子：

《几何原本》第七卷命题11

若整个数比整个数如同减数比减数，则余数比余数也如同整个数比整个数。

《几何原本》插图

设整个数AB比整个数CD如同减数AE比减数CF； 我说，余数EB比余数FD也如同整个数AB比整个数CD。

证明略。

以上内容摘自《几何原本》。

设S△ᴅʙɢ=a，S△ғʙɢ=b

S△ᴅᴄɢ=c，S△ғᴄɢ=d，大家可以自行验证分比定理：

a:b=c:d⇒(a-b):b=(c-d):d

除了以上知识点，我们还应该知道下面的基本比例定理。

比例定理一 在同圆或等圆中，两圆心角的比等于它们所对的弧的比。

比例定理二 平行于三角形一边的直线，分其它两边成比例线段。

一切关于求面积的定理，也都是解几何计算题的重要根据，它们是从下面的基本定理推广而得的：

比例定理三 假使两个矩形的底相等，那么它们的面积的比等于高的比。

这两条定理也同时适合于可通约和不可通约的两种情况，它们的证明和比例定理一完全类似。同学们能够把前一条定理的证明搞清楚了，那么在教科书里所举这两条定理的证明，一看就会明白，这里不再详叙。

各种平面几何计算题的内容，不外是求角、弧、线段和面积的几类，而计算这些图形所依据的定理，完全是从上举的三条比例定理推广而得，因此，这三条定理是解几何计算题的基础。

祝大家新年快乐，元旦假期玩得开心，梦想成真，祝阅读愉快。

科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。

来源：如水滴人生