摘要：题目1：如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，M、N分别为△ABD和△ACD的内心，直线MN分别交AB、AC于E、F。求证AE=AF 。

题目1：如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，M、N分别为△ABD和△ACD的内心，直线MN分别交AB、AC于E、F。求证AE=AF 。

解题思路：易证∠DAC=∠DBA。

因M、N分别为△ABD和△ACD的内心，分别连接MB、MD和NA、ND，易证△MDN为Rt△，△BMD∽△AND（图2），则BD/AD=MD/ND，Rt△ADB∽Rt△NDM，

∠NMD=∠ABD=2α。

∠BMD=180°-45°-∠MBD=135°-∠MBD=135°-1/2∠ABC=135°-α。

∠EMB=180°-∠NMD-∠BMD=180°-2α-（135°-α）=45°-α。

∠AEF=∠EBM+∠EMB=α+45°-α=45°，则∠AFE=90°-45°=45°，

故Rt△AEF为等腰Rt△，AE=AF得证。

题目2:如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=20°，∠BDC=30°。求证：AD=BC。

解题思路（1）：作AE⊥BC，垂足为E；过点A作CD延长线的垂线，垂足为F（图2），则有：

BE=1/2 BC，AF=1/2 AD。

易证Rt△AFC≌Rt△BEA，AF=BE，

故AD=BC成立。

解题思路（2）：以BC为边作等边三角形EBC（图3），易证点E在BC的垂直平分线上，即AE垂直平分BC。

易证△ADC≌△BEA，故AD=BE=BC。

题目3：如图1，圆O为△ABC内切圆的圆心，D是边BC上的切点，连接DO并延长交圆O于G，连接AG并延长交BC于E。求证：BE=DC。

解题思路：过点G作平行于BC的直线分别交AB、AC于点M、N，设AB、AC上的切点分别为P、Q（图2）。

根据切线性质，将各线段长度用小写字母标于图中，则有：a+c=b+d，e=g+h，用于下面的等量代换。

根据相似三角形的性质有：

AM/AB=MG/BE=AG/AE=GN/EC=AN/AC，即

a/(a+c+e)=c/g=AG/AE=d/(h+f)=b/(b+d+f)。

根据等比性质得：

（a+c）/(a+c+e+g)=(d+b)/(h+f+b+d+f)。

简化后为：a+c+e+g=h+f+b+d+f，即：

2g=2f，则g=f，故BE=DC成立。

题目4：如图1，在△ABC中，M为BC边的中点，I是内切圆的圆心，AH⊥BC于点H，E是直线MI与AH的交点，设内切圆的半径为r，则AE=r。

解题思路：设内切圆与BC的切点为D，连接DI并延长交圆I于点F，连接AF并延长交BC于G（图2），根据题目3的结论有：BG=DC。

因M为BC边的中点，故BM=MC，点M为GD的中点。

在△DGF中，MI为其中位线，故MI∥GF，即ME∥GA。

易证FD∥AH，四边形AFIE为平行四边形，FI=AE，AE=r得证。

来源：灿轩教育