摘要：20.(12分)“垂中平行四边形”的定义如下：在平行四边形中，过任一个顶点作不经过该点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”。
关键是，练就“见到什么情形就很快想到什么知识点”的本领。
这样才能见到题就马上形成思路。
本文讲解提供多种思路，侧重初高中结合。
注意平时多积累。
新定义四边形压轴大题
20.(12分)“垂中平行四边形”的定义如下：在平行四边形中，过任一个顶点作不经过该点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”。
(1)如图1，四边形ABCD为“垂中平行四边形”，AF＝，CE＝2，则AE＝____； AB＝___；
图1
(2)如图2，若四边形ABCD为“垂中平行四边形”，且AB＝BD，猜想AF与CD的关系并证明(要求至少3种解法)；
图2
(3)①如图3，在△ABC中，BE＝5，CE＝2AE＝12，BE⊥AC交AC于点E，请画出以BC为边的垂中平行四边形，要求：点A在垂中平行四边形的一条边上(温馨提示：不限作图工具)；
②若△ABC关于直线AC对称得到△AB'C，连接CB'，作射线CB'交①中所画平行四边形的边于点P，连接PE，求PE的长；
③在①和②的条件下，试探究PE与AB'是否垂直。若垂直，给予证明；若不垂直，请说明理由。
图3
读完题，感觉咋样？
第一问的详细分析和求解
注意练就做题状态：平心静气，紧抓已知和未知，朝着待求方向，快速挖掘已知。
凡是见到垂直，该想到①勾股定理；②等腰三角形三线合一；③面积法；④建坐标系；⑤垂直平分线性质；⑥角平分线性质；⑦三角函数、解三角形；⑧圆的切线以及垂径定理等。
也建议您学会自己总结。
凡是见到求线段长，该想到①全等及旋转；②相似；③平行线分线段成比例；④解三角形；⑤坐标系内两点间的距离；⑥勾股定理；⑦设出两条相关联的线段长，解方程组；⑧作辅助线等。
将知识烂熟于心，用到时纵横捭阖。
第一问属于送分。
AF已知，点F为AD中点，则AD就有了；平行四边形对边相等BC＝AD。
BC有，CE已知，由勾股定理可求得BE＝4。
第一问之附图，详解待续：
由平行四边形性质知AF∥BC，Rt△AEF与Rt△CEB相似。相似比为AF:CB＝AF:AD＝1:2。故AE:CE＝1:2。已知CE＝2，则AE＝1。
在Rt△ABE中，BE＝4，AE＝1，故由勾股定理AB＝。
只要平时留心总结，能够“见到什么就立即想到什么”，做题通常能势如破竹。
再次劝诫：平时多总结。
第二问不算难。可以沿袭第一问的解法，不用做辅助线，详见下文解法一。
也可以辅助线构造相似，详见下文解法二。
第二问的解法一：
为了书写简便，可设AB＝BD＝DC＝3m(m＞0)，紧抓平行和垂直两个要素。
∵点F为BC中点，AD∥BF，AD＝BC，
∴根据平行线分线段成比例得BE:ED＝BF:AD＝EF:AE＝1:2，下接图片：
第二问的解法一，下接附图：
第二问解法一之附图。
建议平时多探究不同解法以拓展思维。
第二问的解法二：辅助线构造相似，结合“等腰三角形底边上的中线垂直底边”。
连接DF，∵AB＝BD(已知)，AB＝DC(平行四边形性质)，∴BD＝DC.
在等腰△BDC中，点F为AD中点，∴DF⊥BC，而AD∥BC，故DF⊥AD。
设AB＝BD＝DC＝3m，由平行线分线段成比例得DE＝2m。
易证得Rt△DEF∽Rt△DFB，故DF2＝DE×DB＝6m2--------①。设BF＝FC＝n，则DF2＝BD2－BF2＝(3m)2－n2＝9m2－n2--------②。由①②得6m2＝9m2－n2，即n2＝3m2。第二问解法二之附图，详解待续：
由相似得出一个DF22往下消去n，由勾股定理求得AF与CD的关系。
在Rt△ADF中，由勾股定理AF2＝AD2＋DF2＝(2n)2＋6m2＝4n2＋6m2＝4×(3m2)＋6m2＝18m2＝(3m）2＝[(3m)]2，故AF＝DC。其实下面的辅助线构造相似更简捷。
这种解法较为简便。
下面有解法三。
第二问的解法三：辅助线构造中位线。
第二问的解法三，下接附图：
第二问解法三之附图。
学习累了，就小憩一会儿。
第三问共③小问的详细分析和求解
第三问也不算难。
第①小问让“画出以BC为边的垂中平行四边形”，且要求“点A在垂中平行四边形的一条边上”。
考场上，讲究快速拿下。既然他说“点A在一条边上”，应该立即想到点A是中点。
故，第一步，延长BA至点H，使AH＝AB；
第三问第①小问之附图。
往下，连接KH、KC，四边形BCKH即为所求的“以BC为边的、点A在一条边上的垂中平行四边形”。
第①小问容易拿下，我就不提供其它画法了。
平心静气，拿下一问再说下一问。
第②小问让“求PE的长”，其实也不难。平时注意练就精准画图。您是否注意到，我发文全是自己画图，俺知道考场上不让用几何画板。
△AB'C与△ABC关于直线AC对称，对称点B'和B的连线与对称轴AC垂直。
而已知BE⊥AC，故点B'在射线BE上；而由第①小问知点K也在射线BE上。
养成独立思考探究的习惯。
凭肉眼看，点P貌似垂中平行四边形BCKH的边KH的中点。准确的图形引导正确的思路。
由第①小问知EK＝2BE，由第②小问对称知B'E＝BE，故B'K＝B'E＝BE＝5，即B'K:B'B＝1:2，又KP∥BC，则KP:BC＝B'K:B'B＝1:2，BC＝KH，故点P是KH的中点，则KP＝(1/2)BC＝13/2。
耐心思考，精准判断。
由KP∥BC知∠EKP＝∠EBC，而在Rt△EBC中cos∠EBC＝BE:BC＝5/13，故cos∠EKP＝5/13。
22＋KE2－×2KP×KE×cos∠EKP＝369/4，故PE＝2分之3倍的根号下41。第三问第②小问的附图。
其实，无需动用高中知识。
首先判定出“点P是KH的中点”之后，点A又是BH的中点，故连接AP，则AP为的△HBK中位线，AP平行且等于BK的一半，而BK＝15，则AP＝15/2。
第三问第②小问详解随时附图。
AP∥BK，AE⊥BK，故AP⊥AE。
在Rt△APE中，∠PAE＝90°，AE＝6已知，AP＝15/2已求，由勾股定理PE2＝AE2＋AP2＝62＋(15/2)2＝369/4，故PE＝2分之3倍的根号下41。平时要练就善于钻研探究。
第③小问让“探究PE与AB'是否垂直”。这一问是我擅自添加的。
看着挺害怕，其实沉下心专注思考，也简单。就用到反证法和相似而已。
PE与AB'不垂直，理由如下：
判断PE与AB'不垂直的解法。
第三问第③小问附图。
或曰：既然PE与AB'不垂直，那他俩夹角是多少度？
反正我肉眼看着垂直。这不难，求解如下：
您看多么危险！正弦值几乎为1.
您敢不敢判断交点M是否在对角线HC上？
我问一下：您敢不敢判定PE与AB'的交点是否在对角线HC上。可在评论区留言。
作者简介
中共党员，高中教务主任，常年兼任高中数学、物理、化学等科目。中考数学命题组成员。
专注教育领域，持续发布中考、高考压轴大题的多角度原创详细权威解析，力求篇篇经典。从不照搬答案。
力求篇篇经典，从不照搬答案。
发文涉及科目主要有中高考数学、物理，偶尔也有英语、化学、作文。
到了高中，俺依然是您的良师益友。
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来源：昌裕教育
