喜欢文字胜于数字，但他成为了一名真正的数学家

摘要：保罗·哈尔莫斯是杰出的匈牙利裔美国数学家。作为冯·诺依曼的助手和鞅理论提出者约瑟夫·杜布的学生，他在逻辑、概率和统计、泛函分析等领域都做出了基础性的工作。

保罗·哈尔莫斯是杰出的匈牙利裔美国数学家。作为冯·诺依曼的助手和鞅理论提出者约瑟夫·杜布的学生，他在逻辑、概率和统计、泛函分析等领域都做出了基础性的工作。

他还是优秀的数学教育家和作者，曾在美国芝加哥大学和普林斯顿大学等多所知名学府任教，更因为多部数学名著而享誉全球。他是美国数学会（AMS）的“斯蒂尔奖”（Leroy P. Steele Prize）得主。2012 年，美国数学协会（MAA）的一项重要写作荣誉更名为“保罗·哈尔莫斯 - 莱斯特·福特奖”。

他的著作《我想当数学家》的中文版于1999年首次在国内出版，时隔26年终于再版。

在这本被誉为20世纪“数学社会史”的传记中，哈尔莫斯讲述了自己与数学相伴的一生，以及同时代数学家们的种种趣闻。他亲自拍摄或收集了众多数学家的照片，让读者对这一群体产生全面而感性的认识。哈尔莫斯以数学家的角度深入讨论了该如何学习数学、如何做研究、如何营造良好的学习和学术环境，同时，他讲述了自己对数学的理解，并以亲身经历告诉读者：什么是真正的数学家，怎样才能成为一名数学家。

SAIXIANSHENG

文字

我喜欢文字胜过数字，而且向来如此。

那么，你可能要问，为什么我会是一个数学家？我不知道。我从生活经历中找到了些缘由，发现机遇起了不小的作用，至少和个人选择同等重要。请听我慢慢道来。我确实知道，我并不总拿得准自己想成为什么样的人。

开篇头一句解释了我对很多事情的感受，以及我是如何产生那样的感受的。例如，它意味着，或者无论如何，我希望它意味着，在数学中我喜欢概念胜过计算。对我而言，群的定义比柯西（Cauchy）积分公式更清晰、更重要、更漂亮。

将概念与事实相比较是否有失公允？要知道，对我而言，在美感和深度方面，一次可微复变函数的无穷可微性远胜过著名的关于非交换指数运算的贝克 – 坎贝尔 – 豪斯多夫（Baker-Campbell-Hausdorff）公式。

开篇那句话也是我的一点声明：我喜欢理解数学，喜欢为自己和大众阐明数学，更甚于在数学上有所发现。对我来说，顿悟一个未知秘诀的喜悦和突然发现未知真理的喜悦是一样的——两者都有启迪之光的闪现、几乎难以置信的视野拓展，以及精神放松后的快感和狂喜。同时，就主观的愉悦程度而言，发现一个崭新真理类似于参透一个已知真理，但有一点颇为不同。

不同之处在于，前者带来的那种自豪感、胜利感，以及成为第一名后近乎恶意的满足感。“第一”就意味着某人是第二，想当第一就是要求“按曲线评分”。我好像在说，几乎可以肯定，阐明旧数学比发现新数学更合乎道德——这显然是蠢话，但可以换个说法：不伴随沾沾自喜的见解更好。

也许，我更擅长打磨旧东西而不是探索新东西，更喜欢我能加以改进的那些东西。

我主张在论述上，尤其是在数学论述上，也要“文字多于数字”。精妙符号的发明（对于乘积、指数、级数、积分……一切计算概念）通常是一个巨大的进步，它能化繁为简，但同时也令人费解。

举个例子来说明我的观点，试看一个著名的基本定理和它的一个著名的基本证明。这个定理是内积空间中的贝塞尔（Bessel）不等式，叙述为，如果

是规范正交集，x是向量，

这个定理有个标准证法，令

，然后计算：

证明严谨利落，但缺乏启发性。我认为，理想的证明是这样一句话：“作

与其自身的内积，再乘出来。”这应该足以让跃跃欲试的读者拿起铅笔把上面的等式链重写出来；或者，他可能更乐于倚靠在椅背上，合上双眼，脑海里浮现这些等式。如果他懒得这样做，想让别人帮他完成更多的工作，那么这句证明还可以加长：“结果为正，由四项组成：第一项是

，规范正交性意味着最后一项是

，两个向量积项都等于

，其中一项与正的和项抵消，余下的即为所证不等式。

就篇幅而言，文字和符号的数量相当。文字除了更清楚，还有另一个优点：在从教室回到办公室的路上，人们无须使用黑板或粉笔也可以进行交流。

人们还更有可能通过文字发现适当的一般概念和背景（例如与投影相关的内容）来深化见解。”

我并不主张人们应该偏好文字，但我察觉到自己差不多喜好关于文字的一切。我喜欢玩文字类的游戏——易位构词游戏、詹姆斯·瑟伯的“超级幽灵”文字游戏、乔托游戏、拼字游戏；我也喜欢词源学——字词源自何处、曾经的意思、如何演变，以及当下的精确含义。我的这种爱好过去被称为“语文学”（philology）——对文字的热爱；如今时髦的名称是“语言学”（linguistics）。我不喜欢“语言学”，太像数学了。

不仅如此，更糟糕的是，它就像那种“数字”类的数学，它没有解决自然语言中困难的抽象语义概念（例如“意义”和“解释”），而是几乎完全专注于形式语法的符号演算。

并不是所有的数学家都喜欢文字。我猜测数学和文字存在着以下关联性，却没有证据能证明：代数学家喜欢文字，比如阿廷（Artin）；分析学家不喜欢文字，比如柯朗（Courant）；几何学家中的代数派（扎里斯基，Zariski）和分析派（莱夫谢茨，Lefschetz），各有所好。

我想证明的另一种关联性是：擅长文字叙述的数学家往往因清楚的讲解而获得口碑，受人爱戴；相反，某些“鬼教授”每天都在被恼怒的莘莘学子嘀咕和埋怨。不管我能否证明这一普遍定理，这种相关性，这种类比，在情感上我是信服的。集合论和代数与算术和微分方程之间的关系，似乎如同文字与数字的关系一样。

我敢一概而论吗？我想说，喜欢文字能够比会做演算更好地反映一个人的数学能力。许多研究生院的指导教师曾特别指出：申请数学奖学金的学生，如果在研究生入学考试中语言推理部分得分较高，则要比数量推理部分成绩好但语言推理部分成绩差的学生更有可能被录取为博士生。

SAIXIANSHENG

书籍

“喜欢文字胜过数字”，或正好相反的偏好，是如何产生的呢？我认为，这要么是天性使然，要么是早期养成的，一旦我们养成了这种习惯，无论如何，我们都会坚持下去。以我自己为例，这种倾向在 4 岁时开始显现，到了 8 岁得到巩固。我很早就轻松学会了阅读，然后学会了写作；算术并不难，但我学得晚些，也慢些，既说不上明显感到简单，也没带来极大的乐趣。

我家住在匈牙利布达佩斯一栋公寓的第三层，面朝着一条繁忙的街道（现在叫作列宁大街）。这条大街十分热闹，色彩缤纷，人头攒动，声音嘈杂。街上店铺林立：一家扎眼的五金店宽大的平板玻璃后，陈列着闪亮的刀具；几家书店里堆满了五颜六色的书籍；咖啡馆中态度恭顺却牢骚满腹的侍者们，黑色左袖上搭着白色餐巾；还有些商店里满是玩具、糖果、拐杖、衣服、鞋子和各式钟表。

便道很宽阔，摩肩接踵的人群穿梭在商店橱窗与路边的树、磅秤（花一枚分币可以称体重）、售报亭、出租车停靠点之间。便道上似乎总是熙来攘往：当我一大早去上学的时候，他们就在那里；当我偶尔外出远足或看完电影，深夜被带回家的时候，他们也在那里；后来当我长大成人，以一名美国游客的身份去了匈牙利，夜间很晚出门时，人群仍然在那里。灯火通明，咖啡馆里传来吉普赛乐曲。

列宁大街的路面很宽，容得下两条有轨电车线路，此外还有两条车道。有轨电车和出租车从未清静过。在电车轨道上放一枚分币，金属轮子碾过后，它就被轧得平平的，真是好玩。我很小的时候，出租车是马拉车，后来才变为机动车。

虽然列宁大街和拉科齐（Rákoczi）路的拐角处并不完全像美国的百老汇和第七大道，但是，比起像斯卡斯代尔那样的商业区，它还是更像百老汇和第七大道。13 岁的时候，我搬到了美国芝加哥，所在住宅区的街头巷尾白天寂静无声，晚上简直荒无人烟，我住了一段时间才适应。

老早以前，那时我还没上学，我就喜欢透过临街的窗子目不转睛地向外望，并且乐在其中。我对组成商店名字的巨大字母感到困惑。“那是什么意思？”我很想知道，“那个字母的名称是什么？”这些问题的答案，并不能构成一门系统的阅读课。

我的这种学习方法可能会让“看 - 说”学派和语音学派的支持者感到震惊，但它确实奏效。我坚持不懈的好奇心的结果是，在我 4岁生日的时候，我不仅认识了字母表，而且还能阅读。我开始走进祖父的大型私人藏书室，没过多久，街那头与我家隔几扇门的公共图书馆也变得有用了。

祖父的书都存放在带玻璃门的书柜中，妥善锁藏着，钥匙搁在一个抽屉里，抽屉也锁了，老爷子随身带着抽屉的钥匙。他让我看任何我想要的书，不过问，不检查，但他必须亲自取出来。

我读了很多书。当我 6 岁开始上学的时候，我每天都有家庭作业要做——是的，家庭作业，从 6 岁开始——但我仍有足够的时间阅读：吃早点的时候，晚饭前，浴缸里，最好的是晚上。熄灯之前，我会躺在床上看书，并用一台收音机插上耳机收听维也纳和巴黎的电台音乐。

我阅读并享受着格林童话、安徒生童话、伊索寓言和拉封丹寓言，以及不久之后的《丑角三唱：律师、戏子、剑客》（Scaramouche）和《曾达的囚徒》（The Prisoner of Zenda），这些书的语言全是匈牙利高级书面语。当然，还有匈牙利文学，如约卡伊（Jókai）和考林蒂（Karinthy）的作品，以及来自世界各地的优秀著作和令人兴奋的流行文学。

尼摩船长和尼克·卡特，夏洛克·福尔摩斯和亚森·罗平都是我的朋友。美国文学以詹姆斯·费尼莫尔·库珀（James Fenimore Cooper）和马克·吐温为代表，我对钦加哥和汤姆·索亚的了解大概和美国堪萨斯城的大部分男孩子一样多。

五六十年后的今天，当我回首那些日子时，我很感激并欣赏那里的气氛。文化不是搞笑的、异常的或柔弱的东西，这是理所当然的。书籍和音乐被认为是人类共同遗产的一部分。在学校里，我们讨论最新的尼克·卡特作品，当然，也讨论达达尼安。我们可以告诉彼此，自己刚刚读了些什么，别人并不会觉得奇怪。

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写作

当我刚上小学的时候，我就知道如何阅读，但是我仍然要学习写字。弗洛伊德也许会推断，这对我来说一定是一次创伤性的经历，然而我几乎什么都不记得了。我集中精力去回想，脑海中呈现出一幅模糊的画面：一间不大的屋子，还不如我现在的起居室大，里面坐着一些不知姓名的孩子，还有一位不知姓名的女士，就是老师。我们要用专门的横格纸写字。小写字母，比如 e 和 o，必须夹在中间的两条线之间，靠得很近；向上和向下的笔画，就像 t 和 p中的，要到达更靠外的顶线和底线。写出来像这样：

这对我来说很难，我感觉没把握。教大写字母 M 那天我没有去上课，我不得不自创写法——这困扰了我很长一段时间。

当我到美国后，我很快就注意到我的笔迹是“不同的”，虽然字迹清晰，但是带着一种奇怪的外国“腔调”。后来，我刚开始教书时，这成了一个沟通的小障碍。我重新自学，结果是至少就书写而论，我可以冒充本地人了。机械意义上的写字（writing）就说到这里。拥有不同意义的写作（writing）作为一种表达思想的方式，要重要得多、困难得多，学习的时间也要长得多。

在我印象中的第一篇习作里，我努力表达了自己的爱国之情。

当时，匈牙利人的爱国热情因《特里亚农条约》爆发了。第一次世界大战后，根据此项条约，战胜国瓜分了匈牙利，其国土面积仅剩原来的三分之一。“反对，反对，永远反对！”成为国家的座右铭。在学校里，我们每天课诵效忠匈牙利的国旗誓词。我热爱这段誓词。我对《特里亚农条约》感到愤慨，希望帝国回归。我是保皇派，这就是我的政见。当我们被要求写一篇爱国主义的作文时，我的作文在班上得了奖。我相信自己的潜力，而且，我开始感受到今后对文字的热爱的萌动。我能写出辞藻华丽的散文，我为此感到自豪。

我为什么喜欢写作并且感觉驾轻就熟？我姑且揣测，这得益于三个方面的主要影响：我读了很多，写了很多，而且热爱语言。我想，说到底这都归结于对文字的嗜好。

我相信阅读伏尔泰和塞万提斯的作品，或者大仲马、小仲马和施尼茨勒（Schnitzler）的作品，会影响和改善我的数学风格，帮助我成为一名更好的老师。阅读丰富了我的用词，拓展了我的世界观，加深了我对自己想要接触的受众的理解。

我的有些朋友骄傲地宣称他们从不读小说，这让我感到震惊。他们中的一些人把所有小说都称为谎言，或者用更客气的说法，称为虚构的人造故事，而不是现实的真实故事。真实故事是关于压迫、萧条和战争的，是关于竞选、选举和高层腐败的，它们比简·奥斯丁、狄更斯、高尔斯华绥和毛姆的作品更有“意义”，更加“切题”。

不对，不对，不对！我在情感上和行动上都反对这种观点。我并不主张脱离世界，退隐世外；但我坚持认为，倘若我没读过《旧约》和《新约》（英王詹姆斯钦定本）、《爱丽丝漫游奇境记》，以及《麦克白》、美国《独立宣言》和《人与超人》（Man and Superman），我就不会成为一名作家。

至于写作，我一直在写作，从我记事时起就一直在写。我写信，时不时地写日记，还给自己写笔记——我会用完整句子写笔记，而不仅仅写什么“试作幂级数展开”或者“p >1 时见邓福德 - 施瓦茨（Dunford - Schwartz）定理”。我通过写作来思考。上大学时，我一直写笔记，将课堂上潦草记下的缩写转录成清晰易懂、合乎语法的句子。

后来，当我开始尝试证明定理（这个低调的说法比故作高深的“做研究”更易被人接受），我继续写下去，仿佛我在和自己进行一场对话。“如果我只考虑遍历的情形会怎样？让我想想。我已经研究过S为遍历的情形，但有用的情形是当S和T都是……”

我很想鼓吹：这是正确的方法，以这种方法——我的方法做，否则你就会失败。但我唯一可以确定的是，这只是对我来说正确的方法，我没有别的方法。

SAIXIANSHENG

语言

阅读、写作和语言，是促进我创作的三个因素。我已经讲解过阅读和写作的作用了，至于语言因素的作用，我感觉可能是——至少部分是因为在我学会母语之前，已经学了一门外语。我不到 2 岁的时候，家里来了位蒂罗尔人保姆教我德语，我一直希望自己保留德语能力。我德语听力不错（尤其是奥地利的德语），但我不会说与写：除了后来学过的技术语言，我掌握的词汇量只有一个 4 岁孩子的水平，动词和 der、die、das之类的词我都不懂。

在大约 6 岁时，拉丁语“细胞”融入我的血液之中。我有一个哥哥，比我大 5 岁，在我们经常玩耍和学习的共用桌子旁，他喃喃地背诵功课，其中一些内容对我产生了影响。我还记得一串拉丁语介词：ante，apud，ad，adversis，circum，circa，citra，cis……它们是与宾格连用的介词吗？

希伯来语我学得稍晚一些。学校按天主教徒、新教徒和犹太教徒将学生分开，宗教教育分成两部分：一部分很有趣，另一部分很可怕。有趣的部分是，那个下巴上留着小胡须、软弱无力的老领唱，坐在一架簧风琴前，教我们唱一些希伯来语赞美诗。

我想，他害怕我们，但那活泼的曲调使我们一整天都很兴奋，我们几乎都期待着每周的这堂课。我仍然记得一些曲调和一首赞美诗的前几行。可怕的部分是希伯来语课。教这门课的是一个严厉的、圆脸刮得光光的男人，他把自己看得很重要。

他没有教我们任何希伯来语，他甚至不去试着教教——那可不是工作职责所要求的。他只是把我们变成能够把希伯来语的印刷文本转化为声音的机器。面对一页带标点的希伯来语《旧约》，我无须知道任何一个词的含义，就能将进入眼帘的符号转换成从双唇间发出的声音。

无论是在学校，还是在家里，我所受的教育都强调国际化。法语（不知怎么搞的，我一直没有时间去学）不仅是一门学科，而且是活生生的事物——我父亲在打电话时，若不想让他爱管闲事的孩子们听懂，就用法语。

我觉得，即便是娃娃德语、二手拉丁语、机械希伯来语和保密法语，也扩大了我的文学视野。且不说别的，这些语言教会了我去感受表达同一思想的各种方式之间的异同。

现在，一些研究生反对将学会阅读两种语言作为获得博士学位的必要条件。“我们为什么要学习花卉、家人、属格和过去分词呢？我们只想能阅读上个月巴黎研讨会的报告。”有些人甚至说：“谁需要德语？对我来说，Fortran语言更为重要。”

恐怖！我很不安。我敢说，这种反语言、反文化、反理智的态度将导致国际科学信息交流恶化，并催生大量糟糕的作品。我所学到的每一丁点儿语言知识都对我后来的写作有帮助，丹麦语、葡萄牙语、俄语和罗马尼亚语是这样，我学这些语言是出于特定的数学原因，而我接触过一点的希腊语和梵语也是这样。

我一直遗憾没人教过我希腊语，每一分希腊语知识都可以换来十分的语言感悟。在这些年里，我设法学会了不少希腊语词根，我的资料来源是我书架上的英语词典，尤其是《美国传统词典》（The American Heritage Dictionary）和第二版韦氏词典。我觉得我需要先查出单词的词源，然后才能准确地使用它们，而且我知道（这是件小事，在这儿顺便提一下）我在英语拼写上没有问题的原因是，即使只是对其他语言有“点头之交”，也能让我认识到大部分的难词来自哪里。

我得承认，用 Fortran 语言代替德语只是 90% 的糟糕，而不是 100% 的糟糕。这让我在理解文化和精通传播艺术方面有所失，但在一丝不苟地注重细节和日益精通传播科学方面，却有所得。形式语言的理论学习和实践训练，可能有助于文字表达的严谨精确，尤其是对那些数学天赋不是特别突出的学生来说，但其对于文字表达的清楚明了并无帮助。有时候，这种区别会被忽视，甚至被驳斥，然而这是一个可悲的错误。毕竟，在一篇文章中，不会被误解与确实被理解之间存在着天壤之别。

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数字

我是在家里学会数数的，这意味着我学会了正整数集合中初始一小段的那些成员的名称。我可以按顺序背出来，我还能分辨出五块饼干和七块饼干的区别。我那充满魅力又神秘莫测的父亲给了我最早的算术经历，这事与时钟有关。

他从硬纸板上剪下一个圆盘，用罗马数字 I 到 XII 做了记号，在圆盘中心钉上指针，教我报时。课堂在他的大房间里，那是他的地盘，被允许进入是一种难得的优待。这个房间既是他的诊室（他是一名医生），也是他的书房（在难得的空闲时间，他会在书桌前琢磨国际象棋问题），还是他的卧室。

床在白天是一张宽大而豪华的长沙发，上面盖着一张色彩艳丽的波斯毛毯。房间一面墙上有三扇大窗户，阳光充足，令人愉快，与窗户相对的是一排带玻璃门的书柜。认钟课持续了一个多星期。我终于学会了，当时钟显示 8:45 时，我能说出“八点三刻”，这让我既兴奋又得意。

在那段时间里，我还听说过三角学，但那时候三角对我来说是一个伟大而可怕的谜。我哥，就是那个嘟囔拉丁语介词的哥哥，记住了对边、斜边和各种恒等式。当时我什么都记不住，我甚至不知道这些概念用匈牙利语怎么说。许多年后，当我学习这门课时，我必须先克服恐惧才能明白，其实这一切都很容易。

上小学时，我学习算术，诸如九九乘法表之类。我算术不太好，有的乘积，比如6x7 和7x8 ，我总是不能对答如流，必须停下来仔细想想。（乘法和大写字母 M 是同一天教的吗？）那些口诀（我很确定3x7=21 ）似乎在我的听觉记忆里。

乘法口诀与其说是我“看到”的或“理解”的，不如说是听见的。此外，当我听到乘法口诀用我的母语匈牙利语讲出来时，有时，这会让我心中为之一颤。尽管我已经说英语、读英语、写英语和梦英语超过半个世纪，我听到的算术却总是匈牙利语的。

当我结算支票时，我是用匈牙利语嘟囔着数字——不是“nine and eight is seventeen, carry one”，而是“kilenc és nyolc az tizenhét, marad egy”。为什么会这样？也许是因为，算术是我们所有人每天都在喃喃自语的东西，而大多数其他科目往往一搁置就是一星期或是一个月。

我在匈牙利受到的算术教育，成了我在美国教书初期的一个小障碍。要了解问题出在哪里，请看这两个算术竖式：