摘要：数学家兼官员，其代表作《数书九章》系统总结宋元数学成就，提出"大衍求一术"（中国剩余定理）和高次方程数值解法。该著作包含81个实际应用题，涵盖天文、工程、税收等领域。
1. 秦九韶（1208-1268）
数学家兼官员，其代表作《数书九章》系统总结宋元数学成就，提出"大衍求一术"（中国剩余定理）和高次方程数值解法。该著作包含81个实际应用题，涵盖天文、工程、税收等领域。
2. 杨辉（约1238-1298）
民间数学家，代表作《详解九章算法》创新性地将贾宪三角（二项式系数表）图形化，并提出高阶等差级数求和方法。其《杨辉算法》首次系统记录珠算口诀。
3. 李冶（1192-1279）
金元之际数学家，发明"天元术"（代数方程理论），其《测圆海镜》通过170个几何问题构建天元术完整体系，标志中国代数学符号化突破。
天元术：用“元”字表示未知数，就是现代数学的“用字母表示未知数”。
金代李冶《测圆海镜》圆城图式
1. 高阶方程求解技术
发展出"增乘开方法"，可解高达十次方程，较欧洲霍纳法早500余年。秦九韶在《数书九章》中给出方程 的精确解。
秦九韶《数书九章》原文示例：
“以商生廉，并入下实。商第二位得数，以乘上廉，并入下廉……退位，再商第三位得数，如前。”
通过逐次试商和调整系数，最终求得 ，展现了宋元数学对高次方程的系统解法。
2. 组合数学与级数理论
杨辉在《详解九章算法》中记录了贾宪三角（二项式系数表），并给出构造规则。
杨辉三角
原文描述：
“开方作法本源图：左袤乃积数，右袤乃偶算，中藏者皆廉。以廉乘商方，命实而除之。”
白话文解释：
左袤乃积数：左侧对应最高次项的系数（如 的系数 ）右袤乃隅算：右侧对应常数项的系数（如 ）中藏者皆廉：中间各数是展开各中间（如 ）以廉乘商方，命实而除之：指开方时用中间系数乘以试商的幂次（如 ），再结合被开方数（实）进行除法调整。贾宪三角
贾宪-杨辉三角的现代表示
图中每一行的数字对应二项式展开系数，例如第五行“一、四、六、四、一”（对应 展开式系数）。
- ：所求和的自然数上限。
公式表达式：
1. 符号含义
- ：表示从 到 的自然数平方和，即 。
- ：所求和的自然数上限。
- ：系数，与高阶等差数列求和公式的结构相关。
- ：连续两自然数相乘项，体现级数的对称性。
- ：调整项，用于修正平方和公式的精度。
2. 公式等价性说明
该公式与标准平方和公式 等价：
展开后两式完全一致，可见古代数学表述形式的独特视角。
以 和 为例验证公式。
当 时- 左侧计算：。
- 右侧代入：
2. 当 时
- 左侧计算： 。
该公式体现了宋朝数学家杨辉在高阶等差级数领域的成就：
1. 杨辉对贾宪三角的推广：通过二项式系数表（贾宪三角）递推公式，发现组合数与级数求和的关联。
2. 构造性算法特征：公式通过分解多项式系数实现求和，与西方数学的符号化推导形成对比。例如，杨辉还推导了更高阶的垛积公式，如 。
3. 历史地位：该公式早于欧洲数学家格雷戈里和牛顿的同类成果约400年，被称为“世界冠军级成就”。
3. 数论突破
"大衍求一术"解决同余式组问题，秦九韶处理的最大模数达8位数，算法复杂度堪比现代计算机程序。
秦九韶《数书九章·大衍类》：
“置奇右上，定居右下，立天元一于左上。先以右上除右下，所得商数与左上一相生入左下。然后乃以右行上下以少除多，递互除之，所得商数随即递互累乘，归左行上下。须使右上末后奇一而止。乃验左上所得以为乘率。”
示例：解同余式 ，通过递除求得 ，验证得 。
1. 东亚数学范式确立
南宋数学著作通过朝鲜传入日本，直接影响和算发展，《杨辉算法》成为江户时代数学家必读书目。
2.现代计算机科学溯源
吴文俊指出："宋元数学的构造性、机械化特征，为人工智能时代的数学机械化证明提供了历史范式"。
结语
宋朝数学在保持《九章算术》实用传统的同时，实现了理论体系的重大突破，其算法化、构造性特征形成独特的东方数学思维。
来源：华夏五千年