摘要：函数单调性与最值，含参数不等式的分类讨论，是高一阶段的重难点。
函数和不等式，是历年高考的热点。
函数单调性与最值，含参数不等式的分类讨论，是高一阶段的重难点。
本题有一定代表性，彻底学会本题，对提高分析能力大有裨益。
18.(17分)已知函数f(x)对任意实数x,y∈R恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x＞0时，f(x)＞0，f(1)＝1。
(1)判断f(x)的奇偶性并证明；
(2)求f(x)在区间[－4，4]上的最小值；
(3)解关于x的不等式f(ax2)－2f(x)＞f(ax)－2。求解这类题，只要在有意义范围内，可以随便“令”。
比如令y＝0，由f(x＋y)＝f(x)＋f(y)知f(x)＝f(x)＋f(0)，故f(0)＝0，函数图像经过原点。
还可以令x＋y＝0，即y＝－x，由f(x＋y)＝f(x)＋f(y)知f(0)＝f(x)＋f(－x)，则0＝f(x)＋f(－x)，故f(－x)＝－f(x)，由奇函数定义知，f(x)为奇函数。
虽说随意“令”，但也是有目的地令。朝着f(－x)＝±f(x)令。
求函数在某区间上的最值，通常需判断函数的单调性和增减性。
已经判断f(x)为过原点的奇函数，已知又说当x＞0时，f(x)＞0，故可以大致画出其在区间[－4，4]上图像。奇函数关于原点对称，由图像易知，f(x)在(－4)处有最小值。
谁如果这样写，估计不得分。选择填空可以这样判断。
命题人希望考生用定义法证明f(x)的增减性。
在高一，证函数增减性，只能根据定义。到高二可以用导数证明。
任取x1，x21＞x2，则x1－x2＞0。由题意，当x＞0时，f(x)＞0，故当x1－x2＞0时，f(x1－x2)＞0-------①f(x11－x2)＋x2]，结合已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
有f[(x1－x2)＋x21－x2)＋f(x2)，以上的绿字部分，是本题的关键。
这就证明了函数f(x)在R上是增函数。
所以，f(x)在区间[－4，4]上的最小值，在(－4)处取到。
往下求f(－4)。
题干给的是x＞0的情况，已证f(x)为奇函数，故f(－4)＝－f(4)。
这救转化成了f(4)。
注意充分利用已知“f(1)＝1”和“f(x＋y)＝f(x)＋f(y)”。
令x＝y＝1，由f(x＋y)＝f(x)＋f(y)知f(2)＝2f(1)＝2。
令x＝y＝2，由f(x＋y)＝f(x)＋f(y)知f(4)＝2f(2)＝4。
故，f(x)在区间[－4，4]上的最小值为f(－4)＝－f(4)＝－4。
【总结】充分利用已知、严格按照定义、适当变形，是求解第(2)问的灵魂所在。
有同学问：f(x)的解析式究竟是啥？
依照现有的人力、物力、财力，求不出。
形如f(x＋y)＝f(x)＋f(y)的，通常是正比例函数；
形如f(x＋y)＝f(x)×f(y)的，通常是指数函数；
形如f(x×y)＝f(x)＋f(y)的，通常是对数函数；
形如f(x×y)＝f(x)×f(y)的，通常是幂函数。
他让解关于x的不等式：
f(ax2在不知道具体解析式情况下，只能根据函数性质求解。
f(ax2)－2f(x)＞f(ax)－f(2)，奇函数，－f(x)＝f(－x)，
故－2f(x)＝2f(－x)，－f(2)＝f(－2)，
原不等式再变为
f(ax2)＋2f(－x)＞f(ax)＋f(－2)，由已知f(x)＋f(y)＝f(x＋y)得：
f[(ax2)＋(－x)＋(－x)]＞f[(ax)＋(－2)]，
即f(ax2－2x)＞f[(ax－2)，第(2)问已证函数f(x)在R上是增函数，
故(ax2－2x)＞(ax－2)，
即ax2－(a＋2)x＋2＞0，
即(x－1)(ax－2)＞0，
2方程(x－1)(ax－2)＝0的两根，凡是提到一元二次方程或不等式，首先注意二次项系数是否为零。
①当a＝0时，不等式ax2－(a＋2)x＋2＞0为2x＜2，此时原不等式的解集为{x|x＜1}。说完二次项系数，比较两根大小，是不可回避的。
②若＝1，即当a＝2时，不等式ax2－(a＋2)x＋2＞0为2x2－(2＋2)x＋2＞0，即(x－1)2＞0，此时原不等式的解集为{x|x≠1}。有同学说，往下俺就不会做了。俺见到分类讨论就头疼。
嘿，这就马上解完了！
a的范围，0和2就是两个里程碑。
a＝0和a＝2已经讨论过，往下只需讨论a＜0、0＜a＜2、a＞2三种情形即可。
③若a＜0，则＜0＜1，将原不等式(x－1)(ax－2)＞0化为a(x－1)(x－)＞0，两边同除以负数a，得(x－1)(x－)＜0，此时原不等式的解集为{x|＜x＜1}。
④若0＜a＜2，则＞1，此时不等式(x－1)(ax－2)＞0的解集为{x|x＞或x＜1}。
⑤若a＞2，则＜1，此时不等式(x－1)(ax－2)＞0的解集为{x|x＞1或x＜}。
这不解完了嘛。写上综上即可。
有同学说刘老师你这样写俺觉着别扭。
那您当然可以以二次项系数为基准，按a＝0、a＞0、a＜0的格式去讨论。
其中a＞0的情形再根据两根比大小细分为0＜a＜2、a＝2、a＞2讨论。
【本题点评】
这道题的前两问，一般能或快或慢拿下。
第三问，半数同学感到吃力。
根据函数性质甩掉恶心的“f”，转化为二次不等式的模样，需花费心思。
之后的分情形讨论，也令人像吃了苍蝇般不舒服。
提高自己吧，自身强大时，难题就不是难题了。
作者简介
中共党员，高中教务主任，常年兼任高中数学、物理、化学等科目。中考数学命题组成员。
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来源：合华教育