McKay 猜想：群论中的见微知著

摘要：2023年10月，两名数学家 Britta Späth 和 Marc Cabanes 宣布证明了群论中著名的 McKay 猜想，随后他们于2024年在预印本网站 arXiv上公开了论文，目前尚等待审核发表。自从1971年首次提出以来，McKay猜想吸引了众多研

2023年10月，两名数学家 Britta Späth 和 Marc Cabanes 宣布证明了群论中著名的 McKay 猜想，随后他们于2024年在预印本网站 arXiv上公开了论文，目前尚等待审核发表。自从1971年首次提出以来，McKay猜想吸引了众多研究者。这个神奇的命题将群的表示与其子群的表示联系起来，某种意义上建立了“整体”与“局部”的对应。猜想的最终证明并不只是偶然的灵光一闪，而是几代人的不懈努力促成了这一结果。本文将试图解释这项跨越数十年的壮举。

撰文| 张和持

遇见

2003年，德国卡塞尔大学的数学研究生 Britta Späth 与 McKay 猜想相遇了。与哥德巴赫猜想这样著名且易于表述的难题不同，McKay 猜想的叙述并没有简单到大多数人都能看懂，它是群表示论中的一个著名问题，需要用抽象代数术语才能准确表述；但几十年来相关领域一直在活跃地发展，并没有像哥德巴赫猜想那样让人望而却步。所以 Späth 并没有像后来证明了 Fermat 大定理的 Andrew Wiles (1953-) 那样将年少的梦想藏在心里；相反，她只是希望在这个领域得到一些小成果以完成自己的博士论文。

2007年，她顺利完成了学业。但此时的 Späth 已经深深为 McKay 猜想着迷，她投入地钻研群表示论，寻找所有可能用到的技巧。或许 McKay 猜想就是为 Späth 量身定制的：早在高中时期，Späth 就经常持续几周思考同一个问题，这种沉稳和耐心正是群论这样高度技巧性的学科所必需的。于是毕业之后，她决定继续研究 McKay 猜想。

2010年，Späth 前往法国巴黎城市大学工作。在那里她结识了同样专攻群表示论的 Marc Cabanes，Späth 对 McKay 猜想的热情感染了 Cabanes，他们开始讨论研究，然后约会交往，最后结婚生子。美好的生活并没有扑灭他们对数学的热情，一直到今天的十多年间，他们不断产出，最终在2024年贡献了 McKay 猜想最终的证明成果。

为了解释这个美妙的猜想，我们需要先介绍群表示论。

群与群表示论

群论是数学中研究对称性的分支。日常生活中我们会遇到很多对称的图形，比如圆形、正三角形、正方形、正五边形，等等。以正三角形为例，正三角形有两种对称，分别是旋转对称和翻转对称。旋转对称是指图形在旋转了一定角度之后仍与自己重合；而翻转对称是指图形沿某直线翻转之后仍与自己重合。对正三角形来说，我们可以逆时针旋转或者，并且沿任何边的中垂线翻转。

正三角形的对称

这些变换并不是孤立的，我们可以把多个变换组合起来，比如先旋转 120°，再沿某中垂线翻转，或者交换一下顺序，这样就可以得到另一个变换（比如说先旋转120°再左右翻转，等同于沿倾斜角为30°的一条直线翻转，这里我们将三角形中心放置在原点，一条边平行于x轴）。

变换的组合

乍一看似乎正三角形有无穷种对称，因为只要旋转角是 120°的倍数就能与自己重合，不过旋转360° 和旋转0° 的效果是完全相同的。所以我们只需要考虑120°，这三个角度。注意，旋转0° 或者说360° 并不会对图形进行任何操作，但是我们仍然把它当成是一个变换。这类似于在自然数中加入0 。

考虑以上所有三角形的变换，我们就得到了一个集合

能进行某种二元运算（变换的组合），并且运算的结果仍然是集合中的元素（变换的组合仍然是变换），这种运算一般用乘法书写；有一个元，它跟任何元的组合都不会改变别的元（旋转0° ，或者说恒同变换），称为单位元；运算不一定满足交换律，但满足结合律（变换组合的先后顺序很重要，但是对同一个式子不存在某一部分的组合更优先）；每一个元都有一个二元运算的逆元（每个变换都有一个逆变换，比如旋转120° 的逆是旋转 240°，左右翻转的逆还是左右翻转）。

通过上面的提炼，我们将注意力从对称图形转到了图形的对称群。这种抽象的群论来自于19世纪初 Évariste Galois (1811-1832) 和 Niels Henrik Abel (1802-1829) 两位天才数学家对五次方程的研究，他们注意到代数方程的根式可解性依赖于根的对称性，所以引入了群。群论专注于群的普遍结构，研究它们有哪些子群。但是这终归是抽象的，如果只给出一个群，我们并不能知道它描述的是什么图形的对称性。不过有一种方法可以让抽象的群论变得具体，这就是群表示论。

在考虑三角形的对称群时，细心的读者可能就已经想到，为什么不用矩阵来刻画旋转和翻转呢？比如旋转120° 对应的矩阵是

左右翻转对应的矩阵是

群表示论不是 Galois 发明的，虽然今天数学中有一个重要的领域叫作 Galois 表示，研究 Galois 群的复数或者p进表示论，但是矩阵和向量空间的概念是James Joseph Sylvester（1814-1897）和 Arthur Cayley（1821-1895）等人在19世纪中叶提出的，这时 Galois 已经去世将近二十年了。线性代数的先驱们对群论也不甚了解，他们主要关心的是线性映射或者二次型的一般理论。群表示论的诞生要归功于19末的数学巨匠 Ferdinand Georg Frobenius（1847-1917），他创造性地提出了特征标理论——到今天为止都是群论的基本工具。等介绍完特征标理论，我们就有足够多的数学语言来叙述 McKay 猜想了。

群的行列式与特征标理论

Frobenius 毕业于德国著名的柏林大学，师从大数学家 Karl Weierstrass (1815-1897）。Weierstrass 是现代分析学的奠基人，今天我们使用的严格微积分就出自他的工作，在他的指导下 Frobenius 成为了函数论的专家，年纪轻轻就在椭圆函数和线性代数两个领域取得了不俗的成绩，后来当选普鲁士科学院院士。Weierstrass 一生育人无数，仅有记录的博士生就有47人，连后来著名的物理学家 Max Planck (1858-1947) 都曾上过他的数学课，而 Frobenius 则被他评价为自己最优秀的学生之一。在专注于函数论多年后， Frobenius 已人到中年，他深感函数理论中那些“如迷宫一般的公式”会导致自己“数学想象力消逝”。他开始重新审视自己的内心，想要找到活力的源泉，于是他把目光转向数学中最原始又不加修饰的分支——数论。早在学生时代，Frobenius 就深受 Ernst Eduard Kummer (1810-1893) 和 Leopold Kronecker (1823-1891) 等数论大师的影响，19 世纪中叶的这一代德国数论学家振兴了 Galois 的域扩张理论，并开创了代数数论这一崭新的学科， Kummer 和 Kronecker 就是其中的佼佼者。Kummer 揭示了代数结构与 Fermat 大定理的联系，是代数数域研究的开创者；Kronecker 则用椭圆函数等超越方法构造代数方程的解，这成为了半个世纪后类域论的序曲。Frobenius 从数论中找到的活力源泉便是与 Galois 理论息息相关的（有限）群论。

Frobenius 在数学界素有“论述清晰易懂”的美名，转战抽象代数后，他也很快在新天地站稳了脚跟。当时的代数学正处于从古典向现代转型的关键时期。古典数学重视具体计算与实例，在20世纪之前，根本就不存在单独的抽象代数这门学科，研究者们往往需要从繁杂的计算中领会核心思想。Frobenius 的工作则会尽可能地去证明普适的结论，例如第一次完整证明了 Sylow 定理。

有不同的矩阵，但是这样产生的不同矩阵并不会有本质的区别，所以我们认为这种情况下两个表示是同构的。

不得不指出的是，本文中使用的语言是20世纪之后改进的，Frobenius 的原始论文并没有用矩阵来定义特征标，而是用一种更直接的定义。但由于特征标唯一决定了表示，所以两种论述并没有本质区别，而现代的语言在逻辑上要更加自然一些。特征标并不仅仅是把表示论简化了，如果没有它，就没有20世纪的群论。要想明白特征标理论的强大功效，首先我们要看看如何对表示进行“计数”。

如此美妙的结构让 Frobenius 流连忘返。他的后半生一直致力于完善这套理论，并与他的学生 Issai Schur (1875-1941) 一同把群论带向了20世纪。如今的群论学家在面对一个群时，首先就会把它的特征标写出来。

现在我们可以来说说到底 McKay 猜想是什么了。

McKay猜想与群的分类

McKay 猜想可以看作群论中的“局部-整体对应”。在代数几何与数论中，常常把与素数或素理想有关的结构看作是局部对象，数学家们会试图用这些局部对象来理解整体对象，这在局部 Langlands 纲领等领域中发挥着巨大的作用；而 McKay 猜想恰好符合这一理念：局部不变量等于整体不变量。

不过这只是一个猜想，虽然有大量例子佐证，但是数学定理是不能用有限归纳法得到的。几十年来，数学家们一直在寻找证明。与其说在寻找证明，不如说数学家们想要理解这种神奇对偶背后的原理。正如 Frobenius 通过特征标来理解群的行列式一样，美妙定理背后的理论更令数学家们神往。

此时我们不得不提到20世纪群论研究的一大趋势，那就是对群的分类，准确来说，是对有限单群的分类。单群是指这个群除了1阶群和自己以外，没有别的正规子群。任何一般的有限群，其性质某种意义上都反映在与其相关的单群上，所以如果能搞清楚一共有哪些有限单群，就能将群论问题放到具体的几类例子中研究。这是一项巨大的工程，很多人在了解到其复杂程度之后都会开始怀疑数学的简洁性：自从1972年 Daniel Gorenstein（1923-1992）提出这项惊人的计划以来，数学家们写了上万页的论文，直到2004才正式完工。即便是目前尚未完成的简化版本，预计也需要约5000页篇幅。但是他们得到的结论却非常简洁，除了26个特殊情况（称为零散群）之外，有限单群只有以下四种：

前两种群的定义都非常初等，善用搜索引擎的读者可以花五分钟看懂它们的定义，这并不是本文的重点。后文中我们将介绍 Lie 型群。现在我们更关心的是分类定理对 McKay 猜想的影响。

2007 年，三位数学家 Martin Isaacs，Gunter Malle 以及 Gabriel Navarro 提出了“归纳 McKay 条件”，这是一个稍微改动版本的 McKay 猜想。他们证明，只要对所有有限单群成立“归纳 McKay 条件”，就可以推出 McKay 猜想。这意味着数学家们只需要利用有限单群分类定理，对四种单群及26个零散群仔细研究。这之后的十多年里，包括 Späth 和 Cabanes 在内的数学家们发表了多篇论文，最终在 2024 年正式完工，为长达半个世纪的 McKay 猜想研究画下句号。

整个过程中最困难，同时又最激动人心的部分，就是 Lie 型单群。

Lie群和Lie型群

有一定物理基础的读者可能会听说过 Lie 群，这是一种具有光滑几何结构的群。比如实数加法群

群显然是有限群，不可能具有光滑结构，所以要和 Lie 群区分开来。但是 Lie 型群的理论从某种意义上又源自 Lie 群，除了代数以外，还需要几何的帮助。

可以肯定地说，挪威数学家 Sophus Lie（1842-1899）的工作与表示论完全无关。他研究这些群的动机来自分析：既然代数方程的求解取决于 Galois 群这样的有限群，那能否找到一些连续群来描述微分方程呢？不过即便他用德语写作，当时的德国人也并不买他的账。Weierstrass 认为 Lie 的理论不够严谨，需要推翻重来；Frobenius 更是评价 Lie 的理论用来解微分方程是在“绕远路”。信仰直觉主义的法国人却对 Lie 推崇有加，Henri Poincaré（1854-1912）甚至发出感叹“任何数学都是关于群的故事”。后来 Lie 理论的发展壮大也离不开直觉与应用，从20世纪20年代开始，量子力学的兴起让物理学家把注意力集中在了对称性与群论，数学家 Hermann Weyl（1885-1955）和物理学家 Eugene Wigner（1902-1995）发现 Lie 群的表示可以用来描述自旋等物理量，Weyl 更是系统性整理了几何中的群论内容，就是他首先把这些“连续”的群称为 Lie 群。Frobenius 一生都在抗拒数学被应用污染而失去纯粹性，但他的表示论却最终与他讨厌的 Lie 理论合并在一起被广泛应用到理论物理中，以至于今天物理系学生学到的第一个群可能就是 Lie 群SU(2) 。这不得不让人感叹：历史的潮流是不会因个人喜好而改变的。

与此同时，Lie 理论与表示论正在数学内部经历一场不同的革命。Galois 表示伴随着 Emil Artin（1898-1962）对 L-函数的研究诞生了；Lie 群/ Lie 代数（无穷小版本的 Lie 群）的理论被严谨化，其表示被彻底研究，最终走向了 Langlands 纲领。Langlands 纲领想要建立 Galois 表示与自守表示的联系，而自守表示又与某些具有代数结构的 Lie 群有关。这是另外一个宏伟的故事。但它对 Lie 型群也有影响，在各种因素的影响下，代数群诞生了。

系数都有效的几何理论，因为他们经常需要处理实数/复数以外的系数。这套代数几何理论（概形理论）最终在20世纪60年代被 Alexander Grothendieck（1928-2014）找到，而他的学生 Michel Demazure（1937-）则建立了现代意义上的代数群理论。对于所有经典几何概念，他们都找到了纯代数的定义，进而规避了系数的限制。如此，整个 Lie 群/ Lie 代数的理论都能被迁移到了代数群中，用来研究任意系数的几何。1976年，Grothendieck 的学生 Pierre Deligne

调）构造 Lie 型群表示的方法，随后的 1985 年 Lusztig 用这套方法找到了 Lie 型单群的所有表示。

这样巨大的成功自然也影响了群论，研究这些 Lie 型群也成了 Späth 和 Cabanes 面临的主要挑战。为了证明群论中的结论，他们不得不大量应用像代数几何这样来自其他数学领域的工具。

证明

McKay 猜想的最终证明分散在十几篇论文中，Späth 和 Cabanes 完成了其中的一半，他们2024年的论文填上了最后的一块拼图。几位数学家必须对所有种类的有限单群进行验证，而 Lie 型单群内部也分为数个种类。到2018年为止，只剩下最后一种 Lie 型单群需要考虑了。越到后面，证明的难度越大，这也是为什么最后一种情况花费了整整六年时间。像 Deligne-Lusztig 这样的代数几何理论通常是高度抽象的，但是 McKay 猜想提出的问题却是非常具体的数量关系，这要求数学家们去寻找两个群的特征标之间的一一对应，对于很多高度复杂的群而言，技术难度是前所未有的。除了代数群理论外，证明还涉及诸如 Clifford 理论、块理论等工具。

McKay 猜想并不是“局部-整体”对应的全部，Lie 型群也还存在着诸多未知。或许这些对应的背后还有更加深刻的结构，而现在摆在数学家面前的仍然只有这十几篇高度技巧性的论文。在有限单群分类定理得到证明之后，大多数数学家都表达了自己的不满，他们觉得合格的理论应该用更高的观点来解释特例，比如 Michael Atiyah（1929-2019）就认为有限单群的背后应该有某种带有群作用的几何理论；但也有数学家认为证明无法进一步简化，因为有限单群中的 Lie 型群和零散群本身就已经很复杂了。McKay 猜想的证明并没有那么复杂，相反 Späth 和 Cabanes 的证明还为代数群理论带来了一些新的血液，但同样由于 Lie 型单群本身的复杂性，证明不可避免地依赖复杂的技巧。

不过这些问题并没有困扰两位数学家，完成梦想或许是人生最幸福的事，但在 Späth 看来，McKay 猜想并不仅仅是一项挑战，更是她生活的目标、勇气，以及心中的悸动。如今她战胜了一切困难赢得了挑战，同时也失去了原本的目标。所以她和 Cabanes 开始了新的数学旅程，去寻找新的热情和勇气。祝愿他们能像 Frobenius 一样，在后半生找到“活力的源泉”。