摘要:新人教版初中数学八年级上册第十五章轴对称,安排在全等三角形之后,在前面我们也学习过平移变换,我们需要迁移前面学习平移的方法至轴对称,有了全等三角形作为铺垫,因此这一章节研究最多的,是三角形相关的轴对称,例如等腰三角形,到八年级下册,在平行四边形或特殊平行四边形
套路自创方有用——2025年安徽省中考数学第22题
在2022版新课标中,对于轴对称变换的要求如下:
新人教版初中数学八年级上册第十五章轴对称,安排在全等三角形之后,在前面我们也学习过平移变换,我们需要迁移前面学习平移的方法至轴对称,有了全等三角形作为铺垫,因此这一章节研究最多的,是三角形相关的轴对称,例如等腰三角形,到八年级下册,在平行四边形或特殊平行四边形中,我们会再次运用轴对称,所以在八年级上学期,这一章内容需要帮助学生深入理解。
我们在解题过程中,需要先观察图形,发现其中的轴对称图形,或者构造出轴对称图形,帮助我们建立条件与结论间的关联,从而找到解题思路。而一旦成功建立起这种关联,在解题过程中又遇到类似的情景,便可重复使用,用通俗点的语言,我们找到了一种解题套路(模型),虽然在教学中我们要避免将解法套路化,但是若能引导学生发现甚至构建模型,这种“套路”应鼓励学生使用,在新课标中,我们称之为模型意识、模型观念.
题目
已知点A‘在正方形ABCD内,点E在边AD上,BE是线段AA'的垂直平分线,连接A'E.
(1)如图1,若BA'的延长线经过点D,AE=1,求AB的长;
(2)如图2,点F是AA'的延长线与CD的交点,连接CA'.
(i)求证:∠CA'F=45°;
(ii)如图3,设AF,BE相交于点G,连接CG,DG,DA',若CG=CB,判断△A'DG的形状,并说明理由.
解析:
(1)由BD是正方形对角线可知∠A'DE=45°,由BE是线段AA'的垂直平分线可知△BAE与△BA'E关于BE轴对称,则∠BA'E=∠DA'E=90°,于是得到等腰Rt△A'DE,且AE'=AE=1,所以DE=√2,则AD=√2+1,故AB=√2+1;
(2)图中已经存在等腰△ABA'和等腰△A'BC,充分利用好这两个轴对称图形,本小题容易求解;
(i)方法一:
联想到等腰三角形顶角和底角间的数量关系,可得∠AA’B=90°-1/2∠ABA',∠CA'B=90°-1/2∠A'BC,将这两个等式相加得:
∠AA'C=180°-1/2(∠ABA'+∠A'BC)=180°-1/2∠ABC
=180°-45°=135°
最后求出∠CA'F=45°;
将等腰△A'BC的对称轴作出来,如下图:
作A'C的垂直平分线,交AA'延长线于点G,对于图中两个等腰三角形,均出现了“三线合一”,所以可得∠A'BH=1/2∠ABA',∠GBA'=1/2∠A'BC,它们相加后∠GBH=1/2∠ABC=45°,而对于△GBH,判断它是等腰直角三角形,则∠G=45°,又BG⊥A'C,可求出∠CA'F=45°;
其实这个结论可以作为本题的专属“模型套路”,观察∠CA'F的位置,它是四边形ABCA’的一个外角,且这个外角相邻内角恰好对着∠ABC,如下图:
不妨给它一个文字描述:由两个等腰三角形拼成的四边形ABCA'中,AB=A'B=CB,∠ABC=90°,则∠AA'C=135°,它的外角等于45°.
(ii)当CG=CB时,我们又得到新的等腰三角形,前一小题中归纳出来的“模型套路”就出现了,如下图:
所以用同样的方法可求出∠DGB=135°,而AA'⊥BE,可得∠DGA'=45°;
不妨作新等腰△BCG的顶角平分线CH,交AB于点H,交BG于点K,很容易得到K是BG中点,且CH∥AF,即可证KH是△ABG中位线,所以点H是AB中点;
再证明△ABE≌△BCH,这是正方形内的常见全等三角形,得点E也是AD中点,结合前面的轴对称性质,可得AE=A'E=DE,借助圆的概念可得点A'在以AD为直径的半圆上,所以∠DA'G=90°,因此△A'DG是等腰直角三角形.
解题思考:
本题涉及到正方形性质、等腰三角形性质、全等三角形的性质和判定、中位线性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定等,其中的正方形、等腰三角形、等腰直角三角形都属于轴对称图形,条件中还有垂直平分线的描述,这都要求我们对轴对称概念要深入理解,其实本题条件也可以换一种描述方式,例如正方形ABCD中,点E为边AD上一点,将△ABE沿BE对折后,点A'落在正方形ABCD内部,这就是我们常见的题目了.
当我们在解题过程中,遇到条件类似结论也类似的情况,往往可以写“同理”可证,这其中的关键是判断是否“类似”,以本题为例,两个等腰三角形拼在一起成为一个四边形,且这两个等腰三角形的顶角顶点重合,两个顶角相加等于90°,于是成为一种特殊四边形,在第2小题中我们成功求得这个四边形90°角的对角是135°,而在最后1小题中,当CG=CB条件又给出新的等腰三角形之后,我们同样可寻得新的特殊四边形,所以思路可以很快得到∠DA'G=45°,所以新增条件对原图形有什么影响,是首先要观察的,在解这一类几何综合题时,辅助线的构建并不是空穴来风,而是有迹可循,前面我们用到了三线合一,那么后面的解题,我们便可试试构造等腰三角形的对称轴,这就是通常所说的常规常法.
在平时的课堂教学中,我们会遇到很多类似的几何题,而这些几何题之间,也会存在某种关联,第m题和第n题很像,若头脑中有这种印象,老师可立刻引导学生思考,它们哪里像?是条件中有相同的描述,还是结论一样,甚至图形看上去差不多?解完它们之后,再比较它们的思考过程,从中找到相通点,这一系列工作完成之后,我们便会惊喜地发现,学生找到了一种解题模型,为方便记忆,给它起个名儿,诸如“手拉手”、“脚拉脚”等,这样的解题模型,从发现到建立,有利于学生核心素养的提升.
任何模型的建立,都是我们从相关数学概念中抽出部分元素,重新排列组合而成,所以数学概念是所有模型的基础,描述数学概念的数学语言和描述模型的数学语言是相同的,若概念学习不扎实,模型建立便无从谈起.
来源:李文亚wcho